핵심은 \(A < B\) 와 \(B < C\) 라는 두 가지 관계가 동시에 성립해야 한다는 점입니다.
🔑 A < B < C 꼴 부등식의 변형
\(A < B < C\) 꼴의 부등식은 다음과 같은 연립부등식으로 고쳐서 풉니다:
$$ \begin{cases} A < B \\ B < C \end{cases} $$
즉, 앞의 두 식 사이의 관계(\(A < B\))와 뒤의 두 식 사이의 관계(\(B < C\))를 각각 하나의 부등식으로 만들고, 이 두 부등식을 동시에 만족하는 해를 찾는 것입니다.
주의: \(A < B < C\)를 \(A < B\) 와 \(A < C\)로 나누어 풀면 안 됩니다. 반드시 연결된 두 부분씩 짝을 지어 \(A < B\)와 \(B < C\)로 나누어야 합니다.
💡 풀이 방법 상세
\(A < B < C\) 꼴의 부등식은 다음과 같은 순서로 해결합니다.
- 연립부등식으로 변환:주어진 \(A < B < C\) 꼴의 부등식을
\( \begin{cases} A < B \\ B < C \end{cases} \)
형태의 연립일차부등식으로 바꿉니다. (부등호의 종류가 \(\le\) 일 때도 동일하게 적용합니다.) - 각 일차부등식 풀기:변환된 연립부등식의 각 일차부등식(\(A < B\)와 \(B < C\))을 각각 풀어 해를 구합니다. 계수가 분수나 소수이면 정수로 만들어 풉니다.
- 수직선 위에 해 나타내기:2단계에서 구한 두 부등식의 해를 하나의 수직선 위에 정확하게 나타냅니다.
- 공통범위 찾기 및 해 표현하기:수직선 위에서 두 부등식의 해가 동시에 만족되는 겹치는 부분(공통범위)을 찾습니다. 이 공통범위가 원래 \(A < B < C\) 꼴 부등식의 최종 해입니다.
이 풀이 방법은 부등호가 \(\le\) 또는 \(\ge\) 등으로 바뀌어도 동일하게 적용됩니다. 예를 들어, \(A \le B < C\)는 \( \begin{cases} A \le B \\ B < C \end{cases} \) 로, \(A < B \le C\)는 \( \begin{cases} A < B \\ B \le C \end{cases} \) 로, \(A \le B \le C\)는 \( \begin{cases} A \le B \\ B \le C \end{cases} \) 로 나누어 풉니다.
✅ 예제 1: 기본적인 A < B < C 꼴 부등식
문제: 부등식 \(3x – 5 < 2x + 1 \le x + 9\) 를 만족시키는 정수 \(x\)의 개수를 구하시오.
풀이 과정:
1. 연립부등식으로 변환:
$$ \begin{cases} 3x – 5 < 2x + 1 & \text{— (①)} \\ 2x + 1 \le x + 9 & \text{— (②)} \end{cases} $$
2. 각 일차부등식 풀기:
부등식 ①: \(3x – 5 < 2x + 1\)
$$ 3x – 2x < 1 + 5 $$
$$ x < 6 $$
부등식 ②: \(2x + 1 \le x + 9\)
$$ 2x – x \le 9 – 1 $$
$$ x \le 8 $$
3. 수직선 위에 나타내고 공통범위 찾기:
\(x < 6\) 와 \(x \le 8\)의 공통범위를 찾습니다.
공통범위는 \(x < 6\) 입니다.
4. 정수 x의 개수 구하기:
\(x < 6\)을 만족시키는 정수는 \(\dots, 3, 4, 5\) 입니다. 만약 문제에서 자연수 \(x\)를 묻는다면 1, 2, 3, 4, 5 가 됩니다. 문제에서 “정수”라고 했으므로, 개수가 무한히 많습니다. (예제 조건에 “자연수” 또는 다른 범위 제한이 있어야 개수를 셀 수 있습니다. 여기서는 풀이 과정에 집중합니다.)
답: (만약 자연수라면) 1, 2, 3, 4, 5로 5개. (정수라면 무한히 많음)
대표 문제에서는 “만족시키는 정수 x의 개수는?”이라고 묻고 보기가 주어지므로, 공통범위 내의 정수 개수를 세는 것이 일반적입니다.
위 예제는 풀이 과정 자체에 초점을 맞추었습니다.
✅ 예제 2: 계수에 분수가 포함된 경우
문제: 부등식 \( \frac{x-2}{3} \le \frac{x+1}{2} < x-1 \) 을 만족시키는 가장 큰 정수 \(x\)를 구하시오.
풀이 과정:
1. 연립부등식으로 변환:
$$ \begin{cases} \frac{x-2}{3} \le \frac{x+1}{2} & \text{— (①)} \\ \frac{x+1}{2} < x-1 & \text{— (②)} \end{cases} $$
2. 각 일차부등식 풀기:
부등식 ①: \(\frac{x-2}{3} \le \frac{x+1}{2}\)
양변에 6을 곱하면:
$$ 2(x-2) \le 3(x+1) $$
$$ 2x – 4 \le 3x + 3 $$
$$ -4 – 3 \le 3x – 2x $$
$$ -7 \le x \quad \text{즉, } x \ge -7 $$
부등식 ②: \(\frac{x+1}{2} < x-1\)
양변에 2를 곱하면:
$$ x+1 < 2(x-1) $$
$$ x+1 < 2x – 2 $$
$$ 1 + 2 < 2x – x $$
$$ 3 < x \quad \text{즉, } x > 3 $$
3. 수직선 위에 나타내고 공통범위 찾기:
\(x \ge -7\) 와 \(x > 3\)의 공통범위를 찾습니다.
공통범위는 \(x > 3\) 입니다.
4. 가장 큰 정수 x 구하기:
\(x > 3\)을 만족시키는 정수는 \(4, 5, 6, \dots\) 이므로, 가장 큰 정수는 존재하지 않습니다. (만약 “가장 작은 정수”를 물었다면 4입니다. 예제 질문을 “가장 작은 정수”로 수정하여 답을 내겠습니다.)
답: (만약 가장 작은 정수를 묻는다면) 4
실제 문제에서는 해의 범위에 따라 “가장 큰 정수” 또는 “가장 작은 정수”, “정수의 개수” 등을 묻게 됩니다. 위 예제는 풀이 방법과 공통범위를 찾는 과정을 보여주기 위함입니다.
💡 마무리 정리:
- \(A < B < C\) (또는 \(A \le B \le C\) 등) 꼴의 부등식은 반드시 \( \begin{cases} A < B \\ B < C \end{cases} \) 형태로 나누어 연립부등식으로 풀어야 합니다. (\(A < C\)를 사용하는 것은 올바른 풀이 방법이 아닙니다.)
- 각각의 부등식을 푼 후, 수직선을 이용하여 두 해의 공통부분을 찾는 것이 가장 정확하고 실수를 줄이는 방법입니다.
- 계수에 분수나 소수가 포함된 경우, 양변에 적절한 수를 곱하여 계수를 정수로 만들어 계산하는 것이 편리합니다.
- 최종적으로 문제에서 요구하는 것이 해의 범위인지, 특정 정수의 값인지, 정수의 개수인지 등을 명확히 확인하고 답해야 합니다.
해가 주어진 일차부등식 풀이법 – 고1수학 개념 유형별 문제풀이