📘 개념 이해: “호수 둘레를 도는 경우”란?
“호수 둘레를 도는 경우”의 거리, 속력, 시간 문제는 두 사람(또는 물체)이 원형의 트랙이나 호수 둘레의 같은 지점에서 동시에 출발하여, 서로 같은 방향으로 돌거나 반대 방향으로 돌다가 처음으로 다시 만나는 상황을 다룹니다. 이 문제들의 핵심은 두 사람이 만날 때까지 각자가 이동한 거리의 합 또는 차이가 호수의 둘레와 같아진다는 관계를 이용하는 것입니다.
⚡️ 거리, 속력, 시간의 기본 관계식 (복습):
모든 거리, 속력, 시간 문제의 기초는 변하지 않습니다.
💡 상황별 방정식 세우기 (이미지 내용 포함)
호수 둘레를 도는 문제는 출발 방향에 따라 방정식을 세우는 원리가 달라집니다. (두 사람이 만날 때까지 걸린 시간을 \(x\)라고 가정)
(1) 호수 둘레를 같은 방향으로 돌다 만나는 경우
같은 지점에서 동시에 출발하여 같은 방향으로 돌다가 처음으로 다시 만나는 경우 (단, 두 사람의 속력이 다를 때), 속력이 빠른 사람이 속력이 느린 사람보다 정확히 호수 한 바퀴를 더 돌았을 때 만나게 됩니다. 따라서 두 사람이 이동한 거리의 차이가 호수의 둘레의 길이와 같습니다.
$$ (\text{빠른 사람이 걸은 거리}) – (\text{느린 사람이 걸은 거리}) = (\text{호수의 둘레의 길이}) $$
만약 빠른 사람 A의 속력을 \(v_A\), 느린 사람 B의 속력을 \(v_B\) (\(v_A > v_B\)), 만날 때까지 걸린 시간을 \(x\)라고 하면,
\(\quad v_A x – v_B x = (\text{호수 둘레})\) 로 식을 세울 수 있습니다.
(2) 호수 둘레를 반대 방향으로 돌다 만나는 경우
같은 지점에서 동시에 출발하여 서로 반대 방향으로 돌다가 처음으로 다시 만나는 경우, 두 사람이 이동한 거리의 합이 정확히 호수의 둘레의 길이와 같습니다.
$$ (\text{두 사람이 걸은 거리의 합}) = (\text{호수의 둘레의 길이}) $$
$$ \text{즉, } (\text{A가 걸은 거리}) + (\text{B가 걸은 거리}) = (\text{호수의 둘레의 길이}) $$
만약 A의 속력을 \(v_A\), B의 속력을 \(v_B\), 만날 때까지 걸린 시간을 \(x\)라고 하면,
\(\quad v_A x + v_B x = (\text{호수 둘레})\) 로 식을 세울 수 있습니다.
(이미지에서 빈칸 ①에 들어갈 것은 합 입니다.)
제공해주신 이미지의 내용이 위 두 가지 경우를 정확히 요약하고 있습니다.
각각의 “걸은 거리”는 \(\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}\) 공식을 사용하여 \(x\)에 대한 식으로 표현한 후, 위 등식에 대입합니다.
💡 문제 풀이 단계 (호수 둘레 문제)
- 상황 파악 및 정보 정리:
- 두 사람이 같은 방향으로 도는지, 반대 방향으로 도는지 확인합니다.
- 각 사람의 속력과 호수 둘레의 길이를 파악합니다.
- 일반적으로 동시에 같은 지점에서 출발하는 조건이 주어집니다.
- 미지수 설정:
- 두 사람이 처음으로 다시 만날 때까지 걸린 시간을 미지수 \(x\)로 설정합니다.
- 문제에 따라 각 사람의 속력을 미지수로 설정해야 할 수도 있습니다 (이 경우 연립방정식 필요).
- 각 사람의 이동 거리 표현:
- \(\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}\) 공식을 사용하여, 각 사람이 \(x\)시간 (또는 \(x\)분) 동안 이동한 거리를 나타냅니다.
- 단위 통일(시, 분, 초 / km, m / 시속, 분속, 초속)은 항상 중요합니다.
- 방정식 세우기: 위에서 설명한 각 상황별 핵심 원리(거리의 차 또는 거리의 합)를 이용하여 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 \(x\)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인: 구한 \(x\) 값이 시간으로서 타당한지 (예: 양수인지) 확인하고, 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다.
✅ 예제 1: 호수 둘레를 반대 방향으로 돌아 만나는 경우
문제: 둘레의 길이가 3km인 호수의 같은 지점에서 갑과 을이 동시에 출발하여 서로 반대 방향으로 걷기 시작했다. 갑은 시속 4km로, 을은 시속 2km로 걸을 때, 두 사람이 처음으로 다시 만나는 것은 출발한 지 몇 시간 후인가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 두 사람이 출발한 지 \(x\)시간 후에 처음으로 만난다고 합니다.
- 각자의 이동 거리 표현:
- 갑이 \(x\)시간 동안 간 거리: \(4x\) km
- 을이 \(x\)시간 동안 간 거리: \(2x\) km
- 방정식 세우기: (갑이 간 거리) + (을이 간 거리) = (호수의 둘레의 길이)
$$ 4x + 2x = 3 $$
- 방정식 풀기:
$$ 6x = 3 $$
$$ x = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $$
- 답 구하기 및 확인:두 사람은 출발한 지 \(x=\frac{1}{2}\)시간 (즉, 30분) 후에 처음으로 만납니다.확인: 갑이 간 거리 \(4 \times \frac{1}{2} = 2\)km, 을이 간 거리 \(2 \times \frac{1}{2} = 1\)km. 두 거리의 합 \(2+1=3\)km. (호수 둘레와 일치)
답: 출발한 지 \(\frac{1}{2}\)시간 (또는 30분) 후이다.
✅ 예제 2: 호수 둘레를 같은 방향으로 돌아 만나는 경우
문제: 둘레의 길이가 800m인 운동장이 있다. 같은 지점에서 A와 B가 동시에 출발하여 같은 방향으로 달린다. A는 분속 100m로, B는 분속 60m로 달릴 때, A가 B를 처음으로 따라잡아 만나는 것은 출발한 지 몇 분 후인가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: A가 B를 처음으로 따라잡아 만나는 것을 출발한 지 \(x\)분 후라고 합니다. (A가 B보다 빠름)
- 각자의 이동 거리 표현:
- A(빠른 사람)가 \(x\)분 동안 간 거리: \(100x\) m
- B(느린 사람)가 \(x\)분 동안 간 거리: \(60x\) m
- 방정식 세우기: (A가 간 거리) – (B가 간 거리) = (운동장 둘레의 길이)
$$ 100x – 60x = 800 $$
- 방정식 풀기:
$$ 40x = 800 $$
$$ x = \frac{800}{40} = 20 $$
- 답 구하기 및 확인:A가 B를 처음으로 따라잡는 것은 출발한 지 \(x=20\)분 후입니다.확인: A가 간 거리 \(100 \times 20 = 2000\)m, B가 간 거리 \(60 \times 20 = 1200\)m. 두 거리의 차 \(2000-1200=800\)m. (운동장 둘레와 일치 – 즉, A가 B보다 한 바퀴 더 돌았음)
답: 출발한 지 20분 후이다.
💡 마무리 정리:
- 호수 둘레를 도는 문제는 두 사람이 이동하는 방향에 따라 방정식을 세우는 핵심 원리가 달라집니다.
- 반대 방향: (두 사람이 이동한 거리의 합) = (호수 둘레)
- 같은 방향: (빠른 사람이 이동한 거리) – (느린 사람이 이동한 거리) = (호수 둘레)
- 일반적으로 두 사람이 만날 때까지 걸린 시간을 미지수 \(x\)로 설정합니다.
- 단위 통일(시간, 거리, 속력)은 계산 실수를 줄이기 위해 매우 중요합니다.
- 문제를 시각화하기 위해 간단한 원형 경로와 화살표를 그려보는 것이 도움이 될 수 있습니다.