📘 개념 이해: “해를 갖거나 갖지 않는 조건”이란?
“해를 갖거나 갖지 않는 연립일차부등식” 문제는 연립부등식에 포함된 미정계수의 값에 따라 연립부등식의 해가 존재하거나 존재하지 않도록 하는 조건을 찾는 유형입니다.
또는 해가 특정 형태로 존재하도록 (예: 정수 해가 1개만 있도록) 하는 미정계수의 범위를 구하기도 합니다.
이 문제를 해결하는 핵심 전략은 각 일차부등식을 미정계수를 포함한 채로 푼 다음, 그 해들을 수직선 위에 나타내어 공통부분이 특정 조건을 만족하도록 미정계수의 범위를 설정하는 것입니다.
🔑 풀이 전략의 핵심: 수직선을 이용한 경계값 분석
- 연립부등식을 이루는 각 일차부등식을 풀어 미정계수를 포함한 해를 구합니다.(예: \(x < a+2\), \(x \ge 3a-1\))
- 두 해를 수직선 위에 나타내고, 문제에서 요구하는 조건(해가 없도록, 해를 갖도록, 해가 특정 범위가 되도록 등)을 만족시키기 위해 두 해의 경계값들이 어떤 관계를 가져야 하는지 분석합니다.
- 이 분석을 바탕으로 미정계수에 대한 부등식 또는 방정식을 세워 그 값 또는 범위를 구합니다. 경계값을 포함하는지 여부(등호 유무)가 매우 중요합니다.
💡 연립일차부등식이 해를 갖지 않을 조건
연립일차부등식의 해가 없다는 것은 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타냈을 때 공통으로 겹치는 부분이 전혀 없다는 의미입니다.
몇 가지 대표적인 경우를 수직선으로 이해해 봅시다.
1. 두 해의 범위가 완전히 떨어져 있는 경우
예를 들어, 한 부등식의 해가 \(x < a\) 이고 다른 부등식의 해가 \(x > b\) 일 때 (단, \(a < b\)), 공통부분이 없습니다.
\(x < a\) 와 \(x > b\) (여기서 \(a < b\))
2. 경계는 같거나 겹칠 수 있지만, 한쪽이 경계값을 포함하지 않아 공통부분이 없는 경우
예를 들어, 한 부등식의 해가 \(x \le k\) 이고 다른 부등식의 해가 \(x > k\) 인 경우, \(k\)라는 값에서 공통부분이 생기지 않아 해가 없습니다.
\(x \le k\) 와 \(x > k\)
만약 두 해가 \(x < k\) 와 \(x \ge k\) 여도 마찬가지로 해가 없습니다.
특히 중요한 경우: 해가 없도록 하는 경계값의 관계
두 부등식의 해가 각각 \(x \le A\) 와 \(x \ge B\) 형태로 나왔다고 가정해 봅시다. (여기서 A, B는 미정계수를 포함한 식일 수 있습니다.)
이 연립부등식이 해를 갖지 않으려면, 수직선 상에서 A가 B보다 왼쪽에 있어야 합니다. 즉, \(A < B\) 이어야 합니다.
해가 없으려면 \(A < B\). 만약 \(A=B\)이면 \(x=A\)라는 해가 존재.
만약 등호가 포함되어 \(A \le B\)가 되면, \(A=B\)일 때 \(x=A\)라는 해가 하나 존재하게 되므로 “해가 없다”는 조건에 맞지 않습니다. (문제에서 “해가 하나만 존재하도록”이라는 조건이라면 \(A=B\)를 사용합니다.)
💡 문제 풀이 단계 (해의 존재 조건)
- 각 일차부등식 풀기: 연립부등식을 구성하는 각 부등식을 풀어 해를 구합니다. (미정계수 포함)
- 수직선에 해 나타내기: 두 해를 수직선 위에 표현합니다. 이때, 미정계수를 포함한 경계값의 상대적인 위치를 가정하며 그립니다.
- 해의 조건 분석:
- 해가 없도록: 두 해의 공통부분이 없도록 경계값 사이의 관계를 부등식으로 설정합니다. (예: \(\text{작은 쪽 경계} \ge \text{큰 쪽 경계}\) 또는 그림 참조)
- 해를 갖도록: 두 해의 공통부분이 존재하도록 경계값 사이의 관계를 부등식으로 설정합니다.
- 해가 특정 형태로 존재하도록 (예: 정수 해 1개): 공통부분의 길이가 특정 조건을 만족하도록 경계값 사이의 관계를 설정합니다.
- 미정계수에 대한 부등식 풀기: 3단계에서 세운 미정계수에 대한 부등식을 풀어 그 값의 범위를 구합니다.
- 답 확인: 구한 미정계수의 범위가 문제의 다른 조건과 모순되지 않는지 확인합니다.
✅ 예제 1: 연립부등식이 해를 갖지 않도록 하는 조건
문제: 연립부등식 \( \begin{cases} 2x – 5 \le x + 2 \\ 3x – a > 10 \end{cases} \) 가 해를 갖지 않도록 하는 상수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.
풀이 과정:
1. 첫 번째 부등식 풀기: \(2x – 5 \le x + 2\)
$$ 2x – x \le 2 + 5 $$
$$ x \le 7 $$
2. 두 번째 부등식 풀기: \(3x – a > 10\)
$$ 3x > 10 + a $$
$$ x > \frac{10+a}{3} $$
3. 해를 갖지 않을 조건 분석 (수직선 이용):
두 해는 \(x \le 7\) 과 \(x > \frac{10+a}{3}\) 입니다. 이 두 범위의 공통부분이 없어야 합니다.
해가 없으려면 \(\frac{10+a}{3}\) 가 7보다 크거나 같아야 합니다.
수직선에서 공통부분이 없으려면, \(\frac{10+a}{3}\)의 값이 7보다 크거나 같아야 합니다. 만약 \(\frac{10+a}{3} = 7\)이라면, 하나는 \(x \le 7\)이고 다른 하나는 \(x > 7\)이므로 공통부분이 없습니다. 만약 \(\frac{10+a}{3} < 7\)이라면 공통부분이 생깁니다.
4. 미정계수 \(a\)에 대한 부등식 세우기 및 풀기:
$$ \frac{10+a}{3} \ge 7 $$
$$ 10+a \ge 21 $$
$$ a \ge 21 – 10 $$
$$ a \ge 11 $$
답: \(a \ge 11\)
✅ 예제 2: 연립부등식이 해를 갖도록 하는 조건
문제: 연립부등식 \( \begin{cases} x – 3 < 2x + 1 \\ 3x + k \le x + 5 \end{cases} \) 가 해를 갖도록 하는 상수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.
풀이 과정:
1. 첫 번째 부등식 풀기: \(x – 3 < 2x + 1\)
$$ -3 – 1 < 2x – x $$
$$ -4 < x \quad \text{즉, } x > -4 $$
2. 두 번째 부등식 풀기: \(3x + k \le x + 5\)
$$ 3x – x \le 5 – k $$
$$ 2x \le 5 – k $$
$$ x \le \frac{5-k}{2} $$
3. 해를 가질 조건 분석
두 해는 \(x > -4\) 와 \(x \le \frac{5-k}{2}\) 입니다. 이 두 범위의 공통부분이 존재해야 합니다.
해를 가지려면 \(\frac{5-k}{2}\) 가 -4보다 커야 합니다.
수직선에서 공통부분이 존재하려면, \(\frac{5-k}{2}\)의 값이 \(-4\)보다 커야 합니다. 만약 \(\frac{5-k}{2} = -4\)이라면, 하나는 \(x > -4\)이고 다른 하나는 \(x \le -4\)이므로 공통부분이 없습니다.
따라서 \(\frac{5-k}{2}\)는 \(-4\)보다 커야 합니다.
4. 미정계수 \(k\)에 대한 부등식 세우기 및 풀기:
$$ \frac{5-k}{2} > -4 $$
$$ 5-k > -8 $$
$$ 5+8 > k $$
$$ 13 > k \quad \text{즉, } k < 13 $$
답: \(k < 13\)
💡 마무리 정리:
- 연립일차부등식의 해의 존재 조건 문제는 각 부등식의 해를 구한 후 수직선을 이용하여 경계값의 관계를 파악하는 것이 핵심입니다.
- 해가 없도록 하려면 두 해의 범위가 겹치지 않도록 경계값을 설정합니다. 이때, 두 경계값이 같아지는 경우에도 해가 없는지 (한쪽은 등호 미포함, 다른 쪽은 반대 방향) 또는 해가 한 개 생기는지 (양쪽 모두 등호 포함)를 주의 깊게 판단해야 합니다.
- 해를 갖도록 하려면 두 해의 범위가 조금이라도 겹치도록 경계값을 설정합니다.
- 경계값에 대한 부등식을 세울 때, 등호(\(\le, \ge\))를 포함해야 하는지, 포함하지 않아야 하는지(\(<, >\))를 수직선 상황에 맞게 정확히 판단하는 것이 매우 중요합니다. 이는 문제에서 “해가 없다”, “해를 갖는다”, “해가 단 하나다” 등 어떤 조건을 요구하는지에 따라 달라집니다.
정수인 해의 개수가 주어진 일차부등식 – 고1 수학 개념 유형 문제 풀이