🔑 풀이 전략의 핵심
각 일차부등식을 풀어 (미정계수를 포함한 채로) 해를 구한 후, 이 해들의 공통부분을 찾습니다. 이렇게 찾은 공통부분이 문제에서 주어진 연립일차부등식의 해와 일치하도록 미정계수의 값을 결정합니다.
- 연립부등식을 이루는 각 일차부등식을 미정계수를 문자로 취급하여 각각 풉니다. (예: \(x < \frac{a+3}{2}\) 와 같이 미정계수가 포함된 해가 나옴)
- 두 부등식의 해를 수직선 위에 나타내어 공통부분을 구합니다. 이 공통부분의 형태가 문제에서 주어진 해의 형태와 같아야 합니다.
- 계산된 공통부분의 경계값과 주어진 해의 경계값을 서로 같다고 놓고 방정식을 세워 미정계수의 값을 구합니다.
💡 수직선을 이용한 해 비교
연립부등식의 해가 \(p < x < q\) 또는 \(p \le x < q\) 등과 같이 주어졌다면, 우리가 미정계수를 포함하여 푼 각 부등식의 해가 수직선 상에서 어떻게 위치해야 주어진 해와 같은 공통범위를 만들 수 있을지 생각해야 합니다.
- 만약 주어진 해가 \(p < x < q\) 라면, 한 부등식의 해는 \(x > p\) (또는 \(x \ge p\)) 형태이고, 다른 부등식의 해는 \(x < q\) (또는 \(x \le q\)) 형태여야 합니다.
- 이때, \(x > p\) 형태의 해에서 경계값(예: \(\frac{a+3}{2}\))이 \(p\)와 같아야 하고, \(x < q\) 형태의 해에서 경계값(예: \(b-1\))이 \(q\)와 같아야 합니다.
- 부등호에 등호가 포함되는지 여부도 주어진 해와 일치해야 합니다.
예시: 연립부등식의 해가 \(p < x \le q\)로 주어졌다면,
한 부등식의 해는 \(x > p\)이고 다른 부등식의 해는 \(x \le q\) 형태가 되어야 함.
💡 문제 풀이 단계 (해가 주어진 연립일차부등식)
- 각 일차부등식 풀기 (미정계수 포함):연립부등식을 구성하는 각각의 일차부등식을 미정계수(예: \(a\))를 문자로 취급하고 \(x\)에 대하여 풉니다. 해는 \(x > (\text{미정계수 포함 식})\) 또는 \(x < (\text{미정계수 포함 식})\) 등의 형태로 나올 것입니다.
- 구한 해와 주어진 해 비교를 위한 준비:1단계에서 구한 각 부등식의 해의 형태와 문제에서 최종적으로 주어진 해의 형태를 비교합니다. 예를 들어, 주어진 해가 \(-1 < x < 4\) 라면, 우리가 푼 두 부등식의 해 중 하나는 \(x > -1\) 꼴이 되고, 다른 하나는 \(x < 4\) 꼴이 되어야 합니다.
- 경계값에 대한 방정식 세우기:2단계에서의 비교를 바탕으로, 각 부등식의 해에서 미정계수를 포함한 경계값 부분이 주어진 해의 해당 경계값과 같다고 방정식을 세웁니다.예: 첫 번째 부등식의 해가 \(x > \frac{a-1}{2}\) 이고 주어진 해의 하한이 \(-1\)이라면, \(\frac{a-1}{2} = -1\) 이라는 방정식을 세웁니다.
- 미정계수 값 구하기 및 확인:3단계에서 세운 방정식을 풀어 미정계수의 값을 구합니다. 구한 미정계수 값을 원래 부등식에 대입하여 실제로 주어진 해가 나오는지 검산하는 것이 좋습니다.
✅ 예제 1: 하나의 미정계수를 포함하는 경우
문제: 연립부등식 \( \begin{cases} 4x – a \le 2x + 5 \\ 2x – 1 < 3x – 4 \end{cases} \) 의 해가 \(3 < x \le 6\) 일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
풀이 과정:
1. 첫 번째 부등식 풀기: \(4x – a \le 2x + 5\)
$$ 4x – 2x \le a + 5 $$
$$ 2x \le a + 5 $$
$$ x \le \frac{a+5}{2} $$
2. 두 번째 부등식 풀기: \(2x – 1 < 3x – 4\)
$$ -1 + 4 < 3x – 2x $$
$$ 3 < x \quad \text{즉, } x > 3 $$
3. 구한 해와 주어진 해 비교:
연립부등식의 해는 \(x \le \frac{a+5}{2}\) 와 \(x > 3\) 의 공통부분입니다.
문제에서 주어진 해는 \(3 < x \le 6\) 입니다.
두 해가 일치하려면, \(x > 3\) 부분은 이미 일치합니다. 따라서 \(\frac{a+5}{2}\)는 주어진 해의 상한인 6과 같아야 합니다.
4. 경계값에 대한 방정식 세우기 및 풀기:
$$ \frac{a+5}{2} = 6 $$
$$ a+5 = 12 $$
$$ a = 12 – 5 $$
$$ a = 7 $$
5. 확인: \(a=7\)을 첫 번째 부등식의 해에 대입하면 \(x \le \frac{7+5}{2} \implies x \le \frac{12}{2} \implies x \le 6\). 두 번째 부등식의 해는 \(x > 3\). 따라서 두 해의 공통부분은 \(3 < x \le 6\)으로 주어진 해와 정확히 일치합니다.
답: \(a = 7\)
✅ 예제 2: 두 부등식 모두 미정계수를 포함하는 경우
문제: 연립부등식 \( \begin{cases} x – 2b \ge -5 \\ 3x + a < x + 7 \end{cases} \) 의 해가 \(-1 \le x < 3\) 일 때, 상수 \(a, b\)의 합 \(a+b\)의 값을 구하시오.
풀이 과정:
1. 첫 번째 부등식 풀기: \(x – 2b \ge -5\)
$$ x \ge 2b – 5 $$
2. 두 번째 부등식 풀기: \(3x + a < x + 7\)
$$ 3x – x < 7 – a $$
$$ 2x < 7 – a $$
$$ x < \frac{7 – a}{2} $$
3. 구한 해와 주어진 해 비교:
연립부등식의 해는 \(x \ge 2b – 5\) 와 \(x < \frac{7 – a}{2}\) 의 공통부분입니다.
문제에서 주어진 해는 \(-1 \le x < 3\) 입니다.
두 해가 일치하려면 다음 두 등식이 성립해야 합니다:
4. 경계값에 대한 방정식 세우기:
1) \(2b – 5 = -1\) — (식 ①)
2) \(\frac{7 – a}{2} = 3\) — (식 ②)
5. 방정식 풀기:
(식 ①)에서: \(2b = -1 + 5 \implies 2b = 4 \implies b = 2\)
(식 ②)에서: \(7 – a = 3 \times 2 \implies 7 – a = 6 \implies a = 7 – 6 \implies a = 1\)
6. 최종 답 구하기:
문제에서 \(a+b\)의 값을 물었으므로, \(a+b = 1 + 2 = 3\).
확인: \(a=1, b=2\)를 대입하면 첫 번째 부등식의 해는 \(x \ge 2(2)-5 \implies x \ge -1\). 두 번째 부등식의 해는 \(x < \frac{7-1}{2} \implies x < 3\). 공통해는 \(-1 \le x < 3\)으로 주어진 해와 일치합니다.
답: \(a+b = 3\)
💡 마무리 정리:
- 해가 주어진 연립일차부등식 문제의 핵심은 각 부등식을 미정계수를 포함한 상태로 풀어낸 후, 그 해의 형태와 주어진 해의 형태를 비교하는 것입니다.
- 수직선을 그려서 생각하면, 계산된 해의 경계값이 주어진 해의 어느 경계값과 일치해야 하는지 쉽게 파악할 수 있습니다.
- 부등호의 등호 포함 여부도 중요한 단서가 됩니다. 예를 들어, 푼 해가 \(x > k\)이고 주어진 해가 \(x \ge p\)라면, \(k=p\)가 되어야 하고, 부등호의 형태가 일치하도록 조정하는 과정에서 미정계수의 조건이 나올 수도 있습니다 (이 유형에서는 주로 경계값만 일치).
- 미정계수가 두 개 이상이면, 경계값 비교를 통해 연립방정식을 세워 해결할 수 있습니다.
해를 갖지 않는 일차부등식 – 중요문제 고1 수학 개념 문제