📘 개념 이해: “항의 관계를 이용한 등차수열 풀이”란?
이 유형의 문제는 등차수열의 첫째항(\(a\))이나 공차(\(d\))가 직접 주어지지 않고, 대신 특정 항의 값이나 여러 항들 사이의 관계식이 주어집니다. 핵심 전략은 주어진 항 또는 항의 관계를 모두 첫째항 \(a\)와 공차 \(d\)에 대한 식으로 표현한 후, 이 식들을 연립하여 \(a\)와 \(d\)를 구하는 것입니다.
예를 들어, “제5항은 제2항의 3배이다” 또는 “제3항과 제7항의 합은 20이다”와 같은 조건이 주어질 수 있습니다. 이러한 조건들을 등차수열의 일반항 \(a_n = a + (n-1)d\)를 이용하여 \(a\)와 \(d\)에 대한 방정식으로 변환하는 것이 첫 단계입니다.
🔑 핵심 원칙: \(a\)와 \(d\)로 표현하기
등차수열의 어떤 항 \(a_k\)이든 첫째항 \(a\)와 공차 \(d\)를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있습니다:
$$ a_k = a + (k-1)d $$
주어진 문제의 모든 조건을 이 형태로 바꾸어 연립방정식을 구성합니다.
- 예시 조건 1: 제 \(m\)항이 \(A\)이다.
$$ a_m = a + (m-1)d = A $$
- 예시 조건 2: 제 \(p\)항과 제 \(q\)항의 합이 \(B\)이다.
$$ a_p + a_q = (a + (p-1)d) + (a + (q-1)d) = B $$
$$ \Rightarrow 2a + (p+q-2)d = B $$
- 예시 조건 3: 제 \(x\)항이 제 \(y\)항의 \(k\)배이다.
$$ a_x = k \cdot a_y $$
$$ \Rightarrow a + (x-1)d = k(a + (y-1)d) $$
보통 두 개의 독립적인 조건(방정식)이 주어지면 \(a\)와 \(d\)를 유일하게 결정할 수 있습니다.
💡 연립방정식 세우기 및 풀이 전략
주어진 항들의 관계를 \(a\)와 \(d\)로 표현했다면, 그 다음은 연립방정식을 푸는 과정입니다.
연립방정식 풀이 순서1. 조건 분석: 문제에서 주어진 항들 간의 관계식을 명확히 파악합니다. (예: \(a_5 = 4a_3\), \(a_2 + a_4 = 4\))
2. \(a, d\)로 표현: 각 항을 일반항 공식 \(a_n = a + (n-1)d\)를 이용하여 \(a\)와 \(d\)에 대한 식으로 나타냅니다.
예: \(a_5 = a + 4d\), \(a_3 = a + 2d\), \(a_2 = a + d\), \(a_4 = a + 3d\)
3. 방정식 대입 및 정리: 2단계에서 얻은 식들을 원래의 관계식에 대입하여 \(a\)와 \(d\)에 대한 연립방정식을 만듭니다.
예:
$$ a + 4d = 4(a + 2d) \quad \cdots ① $$
$$ (a+d) + (a+3d) = 4 \quad \cdots ② $$
4. 연립방정식 풀이: 가감법 또는 대입법을 이용하여 \(a\)와 \(d\)의 값을 구합니다.
5. 문제의 요구사항 계산: 구해진 \(a\)와 \(d\)를 이용하여 문제에서 최종적으로 요구하는 값(특정 항의 값, 일반항 등)을 계산합니다.
때로는 식을 정리하는 과정에서 \(a\) 또는 \(d\) 중 하나가 바로 소거되거나, 하나의 문자에 대해 다른 문자로 표현될 수 있습니다. 이를 다른 식에 대입하여 해를 구합니다.
예를 들어, \(a+4d = 4a+8d\) 에서 \(3a = -4d\) 와 같은 관계식을 얻을 수 있습니다. 이 관계식을 다른 방정식에 대입하여 풀면 됩니다.
등차중항의 성질 (\(a, b, c\)가 순서대로 등차수열을 이루면 \(2b = a+c\))도 유용하게 사용될 수 있습니다. 예를 들어, \(a_2 + a_4 = 4\)는 등차중항의 성질에 의해 \(2a_3 = 4\), 즉 \(a_3=2\)로 간결하게 표현될 수 있습니다. (단, 문제에서 항들이 연속적이지 않거나 등차중항을 직접 적용하기 어려운 관계일 수도 있으니 주의해야 합니다.)
💡 문제 풀이 단계 (항의 관계 활용)
- 주어진 조건 명확화: 문제에 제시된 항들 사이의 관계식을 정확히 이해하고 옮겨 적습니다.
- 모든 항을 \(a, d\)로 변환: 등차수열의 일반항 \(a_n = a + (n-1)d\)를 사용하여, 관계식에 등장하는 모든 항(\(a_k\))을 첫째항 \(a\)와 공차 \(d\)의 식으로 바꿉니다.
- 연립방정식 수립: 변환된 식들을 원래 관계식에 대입하여 \(a\)와 \(d\)에 관한 연립방정식을 세웁니다. 보통 두 개의 독립적인 관계식으로부터 두 개의 방정식을 얻습니다.
- 연립방정식 풀이: 세워진 연립방정식을 풀어 \(a\)와 \(d\)의 값을 구합니다.
- 최종 답 계산 및 확인:
- 구한 \(a\)와 \(d\)를 이용하여 문제에서 요구하는 값(예: \(a_6\), 일반항 \(a_n\))을 계산합니다.
- 계산된 \(a, d\) 값을 원래 조건에 대입하여 만족하는지 검산해 볼 수 있습니다.
✅ 예제 1: 두 항의 관계와 한 항의 값이 주어진 경우
문제: 등차수열 \(\{a_n\}\)에서 제3항이 7이고, 제7항은 제2항의 2배보다 1만큼 크다고 한다. 이 수열의 제10항을 구하시오.
풀이 과정:
- 주어진 조건:
- \(a_3 = 7\)
- \(a_7 = 2a_2 + 1\)
- \(a, d\)로 표현: 첫째항을 \(a\), 공차를 \(d\)라 하면,
- \(a_3 = a + 2d = 7 \quad \cdots ①\)
- \(a_7 = a + 6d\)
- \(a_2 = a + d\)
두 번째 조건을 \(a,d\)로 표현하면:
$$ a + 6d = 2(a + d) + 1 $$
$$ a + 6d = 2a + 2d + 1 $$
$$ -a + 4d = 1 \quad \cdots ② $$
- 연립방정식 풀기: 식 ①과 식 ②를 연립하여 푼다.①: \(a + 2d = 7\)②: \(-a + 4d = 1\)① + ②: \(6d = 8 \Rightarrow d = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)
\(d = \frac{4}{3}\)를 ①에 대입: \(a + 2\left(\frac{4}{3}\right) = 7 \Rightarrow a + \frac{8}{3} = 7 \Rightarrow a = 7 – \frac{8}{3} = \frac{21-8}{3} = \frac{13}{3}\)
- 제10항 계산: \(a = \frac{13}{3}\), \(d = \frac{4}{3}\)
$$ a_{10} = a + 9d = \frac{13}{3} + 9\left(\frac{4}{3}\right) = \frac{13}{3} + \frac{36}{3} = \frac{49}{3} $$
답: 제10항은 \(\frac{49}{3}\)
✅ 예제 2: 세 항 사이의 비율 관계가 주어진 경우
문제: 등차수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_2 : a_5 = 1 : 3\)이고 \(a_1 + a_3 = 12\)일 때, 제6항의 값을 구하시오.
풀이 과정:
- 주어진 조건:
- \(a_2 : a_5 = 1 : 3 \Rightarrow 3a_2 = a_5\)
- \(a_1 + a_3 = 12\)
- \(a, d\)로 표현:
- \(3(a+d) = a+4d \quad \cdots ①\)
- \(a + (a+2d) = 12 \quad \cdots ②\)
- 방정식 정리 및 풀이:식 ① 정리: \(3a + 3d = a + 4d \Rightarrow 2a = d\)식 ② 정리: \(2a + 2d = 12 \Rightarrow a + d = 6\)\(d = 2a\)를 \(a+d=6\)에 대입:
$$ a + 2a = 6 \Rightarrow 3a = 6 \Rightarrow a = 2 $$
따라서 \(d = 2a = 2(2) = 4\)
- 제6항 계산: \(a=2, d=4\)
$$ a_6 = a + 5d = 2 + 5(4) = 2 + 20 = 22 $$
답: 제6항은 22이다.
✅ 예제 3: 항들의 합과 차가 주어진 경우
문제: 등차수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_3 + a_8 = 35\)이고 \(a_9 – a_4 = 15\)일 때, 첫째항과 공차를 구하시오.
풀이 과정:
- 주어진 조건:
- \(a_3 + a_8 = 35\)
- \(a_9 – a_4 = 15\)
- \(a, d\)로 표현:
- \((a+2d) + (a+7d) = 35 \Rightarrow 2a + 9d = 35 \quad \cdots ①\)
- \((a+8d) – (a+3d) = 15 \Rightarrow 5d = 15 \quad \cdots ②\)
- 방정식 풀이:식 ②에서 \(5d = 15 \Rightarrow d = 3\)\(d=3\)을 식 ①에 대입:
$$ 2a + 9(3) = 35 $$
$$ 2a + 27 = 35 $$
$$ 2a = 8 $$
$$ a = 4 $$
답: 첫째항은 4, 공차는 3이다.
💡 마무리 정리:
- 등차수열 문제에서 항들 사이의 복잡한 관계가 주어지더라도, 모든 항을 첫째항 \(a\)와 공차 \(d\)를 이용하여 표현하는 것이 해결의 첫걸음입니다.
- 두 개의 미지수(\(a, d\))를 구하기 위해서는 일반적으로 두 개의 독립적인 방정식이 필요합니다. 문제에서 주어진 조건들을 통해 이 두 방정식을 찾아내야 합니다.
- \(a_p – a_q = (p-q)d\) 와 같은 공차의 성질을 이용하면 특정 경우 풀이를 간결하게 할 수 있습니다 (예제 3의 두 번째 조건처럼).
- 연립방정식을 세우고 푸는 과정에서 계산 실수가 없도록 주의해야 합니다.
양수 음수가 되는 조건의 등차수열 – 고등학교 2학년 수1 수학 개념