📘 개념 이해: “합이 일정한 문제”란?
“합이 일정한 문제”는 두 개 이상의 양(또는 개수, 값 등)의 총합이 특정 값으로 정해져 있는 상황에서, 각 양을 미지수를 사용하여 표현하고 문제를 해결하는 유형입니다.
예를 들어, “두 수의 합이 10이다”, “사탕과 초콜릿을 합쳐 15개를 샀다” 등이 이런 문제에 해당합니다.
이 유형의 핵심은 하나의 양을 미지수 \(x\)로 두면, 나머지 양은 (총합 – \(x\))로 표현할 수 있다는 점입니다. 이렇게 하면 단 하나의 미지수만 사용하여 문제를 풀 수 있게 됩니다.
🔑 핵심 아이디어:
- 구하고자 하는 것 중 하나를 미지수 \(x\)로 설정한다.
- 다른 하나는 (총합) – \(x\) 로 표현한다.
- 문제의 나머지 조건을 이용하여 방정식을 세우고 \(x\) 값을 구한다.
💡 미지수 설정 방법
두 양 A와 B의 합이 S로 일정할 때, 미지수를 설정하는 방법은 다음과 같습니다.
기본 원칙: (양 A) + (양 B) = S (총합)
- 만약, (양 A)를 \(x\)로 놓는다면,
- (양 B)는 \(S – x\) 로 표현할 수 있습니다.
또는 반대로,
- 만약, (양 B)를 \(x\)로 놓는다면,
- (양 A)는 \(S – x\) 로 표현할 수 있습니다.
보통 문제에서 직접적으로 구하라고 하는 것을 \(x\)로 놓는 것이 편리합니다.
구하고자 하는 것을 \(x\), 다른 것을 (합) – ① 로 놓는다.
따라서, 구하고자 하는 것을 \(x\)로 놓으면, 다른 것은 (합) – \(x\) 로 표현합니다.
예시: 남학생과 여학생 문제
상황: 남학생과 여학생이 합해서 20명
- 만약, 남학생 수를 \(x\)명이라고 하면,
- 여학생 수는 \((20 – x)\)명이 됩니다.
또는,
- 만약, 여학생 수를 \(y\)명이라고 하면,
- 남학생 수는 \((20 – y)\)명이 됩니다.
이처럼 한쪽을 \(x\)로 정하면, 다른 한쪽은 전체 합에서 \(x\)를 뺀 값으로 나타낼 수 있습니다.
💡 문제 풀이 단계
- 미지수 설정:
- 문제에서 구하려는 값 중 하나를 \(x\)로 놓습니다.
- 총합이 주어져 있다면, 나머지 값은 (총합 – \(x\))로 표현합니다.
- 방정식 세우기: 문제에 주어진 나머지 조건(예: 가격의 총합, 다리 수의 총합, 나이의 관계 등)을 이용하여 \(x\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 \(x\)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 \(x\) 값을 바탕으로 문제에서 요구하는 모든 값을 찾습니다. (예: \(x\)와 (총합 – \(x\)) 각각의 값)
- 찾은 값들이 문제의 조건을 모두 만족하는지 검산합니다. (예: 두 값의 합이 총합과 일치하는지, 다른 조건들도 만족하는지 등)
- 최종적으로 문제에서 요구하는 답을 작성합니다.
✅ 예제 1: 두 수의 합
문제: 두 자연수의 합이 30이고, 큰 수는 작은 수의 2배보다 3만큼 크다고 한다. 두 자연수를 각각 구하시오.
풀이 과정:
- 미지수 설정:
- 작은 수를 \(x\)라고 놓습니다.
- 두 수의 합이 30이므로, 큰 수는 \(30 – x\)로 표현할 수 있습니다.
- (주의: 문제에서 ‘큰 수’와 ‘작은 수’가 명시되어 있으므로, \(x\)가 \(30-x\)보다 작다는 가정이 필요합니다. 즉, \(x < 15\))
- 방정식 세우기: “큰 수는 작은 수의 2배보다 3만큼 크다”
$$ (30 – x) = 2x + 3 $$
- 방정식 풀기:
$$ 30 – 3 = 2x + x $$
$$ 27 = 3x $$
$$ x = \frac{27}{3} $$
$$ x = 9 $$
- 답 구하기 및 확인:작은 수 \(x\)는 9입니다. (\(x=9 < 15\)이므로 가정에 맞습니다.)큰 수는 \(30 – x = 30 – 9 = 21\)입니다.확인:
- 두 수의 합: \(9 + 21 = 30\) (일치)
- 큰 수(21)와 작은 수(9)의 관계: 작은 수의 2배는 \(2 \times 9 = 18\). 여기에 3을 더하면 \(18+3=21\). 큰 수와 일치합니다.
답: 두 자연수는 9와 21이다.
✅ 예제 2: 물건 개수와 가격
문제: 한 개에 500원 하는 사탕과 한 개에 700원 하는 초콜릿을 합하여 10개를 사고 총 6,200원을 지불했다. 사탕과 초콜릿은 각각 몇 개씩 샀는가?
풀이 과정:
- 미지수 설정:
- 산 사탕의 개수를 \(x\)개라고 놓습니다.
- 총 10개를 샀으므로, 산 초콜릿의 개수는 \((10 – x)\)개입니다.
- 방정식 세우기: (사탕의 총 가격) + (초콜릿의 총 가격) = (총 지불 금액)
$$ 500x + 700(10 – x) = 6200 $$
- 방정식 풀기:
$$ 500x + 7000 – 700x = 6200 $$
$$ -200x = 6200 – 7000 $$
$$ -200x = -800 $$
$$ x = \frac{-800}{-200} $$
$$ x = 4 $$
- 답 구하기 및 확인:사탕의 개수 \(x\)는 4개입니다.초콜릿의 개수는 \(10 – x = 10 – 4 = 6\)개입니다.확인:
- 총 개수: 사탕 4개 + 초콜릿 6개 = 10개 (일치)
- 총 가격: (500원 \(\times\) 4개) + (700원 \(\times\) 6개) = 2000원 + 4200원 = 6200원 (일치)
답: 사탕 4개, 초콜릿 6개이다.
✅ 예제 3: 나이 문제
문제: 현재 아버지와 아들의 나이 합은 55세이다. 10년 후에는 아버지의 나이가 아들의 나이의 2배가 된다고 한다. 현재 아버지와 아들의 나이는 각각 몇 세인가?
풀이 과정:
- 미지수 설정 (현재 나이 기준):
- 현재 아들의 나이를 \(x\)세라고 놓습니다.
- 현재 아버지와 아들의 나이 합이 55세이므로, 현재 아버지의 나이는 \((55 – x)\)세입니다.
- 10년 후의 나이 표현:
- 10년 후 아들의 나이: \(x + 10\)세
- 10년 후 아버지의 나이: \((55 – x) + 10 = (65 – x)\)세
- 방정식 세우기: “10년 후 아버지의 나이가 아들의 나이의 2배가 된다”
$$ (65 – x) = 2(x + 10) $$
- 방정식 풀기:
$$ 65 – x = 2x + 20 $$
$$ 65 – 20 = 2x + x $$
$$ 45 = 3x $$
$$ x = \frac{45}{3} $$
$$ x = 15 $$
- 답 구하기 및 확인:현재 아들의 나이 \(x\)는 15세입니다.현재 아버지의 나이는 \(55 – x = 55 – 15 = 40\)세입니다.확인:
- 현재 나이 합: 15세 + 40세 = 55세 (일치)
- 10년 후: 아들 25세, 아버지 50세. 아버지 나이(50)는 아들 나이(25)의 2배. (일치)
답: 현재 아들의 나이는 15세, 아버지의 나이는 40세이다.
💡 마무리 정리:
- “합이 일정하다”는 조건은 미지수의 개수를 줄여주는 매우 유용한 힌트입니다.
- 어떤 것을 \(x\)로 놓을지 정했다면, 나머지 것은 (총합 – \(x\))로 표현하는 것을 잊지 마세요.
- 시간이 변하는 문제(예: 나이 문제)에서는 기준 시점(현재, 몇 년 후 등)을 명확히 하고 각 시점의 값을 정확히 표현해야 합니다.
- 다양한 상황(개수, 가격, 나이, 길이, 무게 등)에서 이 원리가 적용될 수 있음을 이해하는 것이 중요합니다.
합이 일정한 문제 – 중1수학 – 일차방정식 활용 유형 (4)