합금, 식품 유형 문제 – 중2 수학 연립방정식 -(구성 물질에 대한 문제)

📘 개념 이해: “합금과 식품에서 구성 물질에 대한 문제”란?

“합금과 식품에서 구성 물질에 대한 문제”는 두 종류 이상의 합금이나 식품을 섞어서 새로운 혼합물을 만들 때, 그 혼합물에 포함된 특정 성분(예: 구리, 아연, 단백질, 탄수화물 등)의 총량을 맞추기 위해 각 재료를 얼마나 사용해야 하는지를 묻는 유형입니다.

이 유형의 핵심은 각 재료(합금 또는 식품)에 특정 성분이 얼마나 포함되어 있는지 (보통 백분율 %로 주어짐)를 파악하고, 각 재료의 사용량에 따라 그 안에 포함된 각 성분의 양을 계산한 후, 이들의 합이 최종적으로 만들어야 하는 혼합물 속 각 성분의 총량과 같다는 점을 이용하여 연립방정식을 세우는 것입니다.

💡 구성 물질의 양 계산 및 방정식 세우기

각 재료에 포함된 특정 구성 물질의 양은 다음과 같이 계산합니다:

$$ (\text{특정 성분의 양}) = (\text{재료의 전체 양}) \times \frac{(\text{해당 성분의 포함 비율 } \%)}{100} $$

예를 들어, 합금 A에 구리가 30% 포함되어 있다면, 합금 A를 \(x\)kg 사용할 때 그 안에 포함된 구리의 양은 \(x \times \frac{30}{100}\)kg 입니다.

💡 문제 풀이 단계 (합금/식품 구성 물질 문제)

1. 문제 분석 및 정보 정리:
   • 관련된 각 재료(합금, 식품 등)의 종류를 파악합니다.
   • 각 재료에 포함된 주요 구성 성분과 그 비율(%)을 확인합니다. (표로 정리하면 유용)
   • 만들고자 하는 최종 혼합물에 필요한 각 구성 성분의 총량을 확인합니다.
2. 미지수 설정:
   • 사용해야 할 각 재료의 양을 미지수 \(x, y\) 등으로 설정합니다. (예: 합금 A의 양 \(x\)kg, 합금 B의 양 \(y\)kg)
3. 각 재료에 포함된 성분의 양 표현:
   • 설정한 미지수와 주어진 비율을 이용하여, 각 재료를 사용했을 때 그 안에 포함될 각 구성 성분의 양을 식으로 나타냅니다.
4. 연립방정식 세우기:
   • 각 구성 성분별로 “(재료1의 해당 성분 양) + (재료2의 해당 성분 양) + … = (최종 혼합물의 해당 성분 총량)” 형태의 방정식을 세웁니다.
   • 보통 두 가지 주요 성분에 대해 두 개의 방정식을 세워 연립방정식을 만듭니다.
5. 단위 통일: 재료의 양(kg, g)과 성분의 양(kg, g)의 단위를 일치시키고, 퍼센트는 계산 시 \(\frac{\text{값}}{100}\)으로 변환합니다.
6. 연립방정식 풀기: 세운 연립방정식을 풀어 각 미지수(재료의 양)의 값을 구합니다.
7. 답 구하기 및 확인: 구한 값이 문제의 조건(예: 양은 양수)에 맞는지 확인하고, 최종 답을 작성합니다. 검산 과정을 통해 확인하는 것이 좋습니다.

✅ 예제 1: 두 종류의 합금 혼합하기

문제: 두 종류의 합금 P, Q가 있다. 합금 P에는 구리가 40%, 주석이 10% 포함되어 있고, 합금 Q에는 구리가 20%, 주석이 30% 포함되어 있다. 이 두 합금을 녹여서 구리 26kg, 주석 20kg을 포함하는 새로운 합금을 만들려고 한다. 합금 P와 합금 Q는 각각 몇 kg씩 필요한가?

풀이 과정:

• 미지수 설정:
  • 필요한 합금 P의 양을 \(x\) kg
  • 필요한 합금 Q의 양을 \(y\) kg
• 각 합금에 포함된 구리와 주석의 양 표현:
  

  성분	합금 P (\(x\)kg 중)	합금 Q (\(y\)kg 중)	목표량 (kg)
  구리	\(0.4x\)	\(0.2y\)	26
  주석	\(0.1x\)	\(0.3y\)	20

• 연립방정식 세우기:1. 구리의 총량:

  $$ 0.4x + 0.2y = 26 \text{ — (식 ①)} $$

  2. 주석의 총량:

  $$ 0.1x + 0.3y = 20 \text{ — (식 ②)} $$

• 연립방정식 풀기:(식 ①) \(\times 10\): \(4x + 2y = 260 \implies 2x + y = 130\) — (식 A)(식 ②) \(\times 10\): \(x + 3y = 200\) — (식 B)

  (식 A)에서 \(y = 130 – 2x\). 이를 (식 B)에 대입:

  $$ x + 3(130 – 2x) = 200 $$

  $$ x + 390 – 6x = 200 $$

  $$ -5x = 200 – 390 $$

  $$ -5x = -190 \implies x = 38 $$

  \(x=38\)을 \(y = 130 – 2x\)에 대입: \(y = 130 – 2(38) = 130 – 76 = 54\)

• 답 구하기 및 확인:합금 P는 38kg, 합금 Q는 54kg 필요합니다.확인:
  • 구리: \((0.4 \times 38) + (0.2 \times 54) = 15.2 + 10.8 = 26\)kg (일치)
  • 주석: \((0.1 \times 38) + (0.3 \times 54) = 3.8 + 16.2 = 20\)kg (일치)

답: 합금 P는 38 kg, 합금 Q는 54 kg 필요하다.

✅ 예제 2: 두 종류의 식품에서 영양소 섭취하기

문제: 식품 A와 식품 B의 100g당 단백질과 탄수화물 함량은 다음 표와 같다. 이 두 식품을 섭취하여 단백질 34g, 탄수화물 28g을 얻으려고 한다. 식품 A와 식품 B는 각각 몇 g씩 섭취해야 하는가?

풀이 과정:

• 미지수 설정:
  • 섭취할 식품 A의 양을 \(x \times 100\)g (즉, \(x\) 단위, 여기서 1단위=100g)
  • 섭취할 식품 B의 양을 \(y \times 100\)g (즉, \(y\) 단위)
  • (또는 식품 A를 \(X\)g, 식품 B를 \(Y\)g으로 놓고, 100g당 함량을 비율로 계산해도 됩니다. 여기서는 단위를 100g으로 맞추어 계산합니다.)
• 각 식품에서 섭취하는 영양소의 양 표현:
  

  영양소	식품 A (\(100x\)g 중)	식품 B (\(100y\)g 중)	목표 섭취량 (g)
  단백질	\(20x\)	\(10y\)	34
  탄수화물	\(10x\)	\(15y\)	28

• 연립방정식 세우기:1. 총 단백질 섭취량:

  $$ 20x + 10y = 34 \text{ — (식 ①)} $$

  2. 총 탄수화물 섭취량:

  $$ 10x + 15y = 28 \text{ — (식 ②)} $$

• 연립방정식 풀기:(식 ①)을 10으로 나누면: \(2x + y = 3.4 \implies y = 3.4 – 2x\) — (식 A)(식 A)를 (식 ②)에 대입:

  $$ 10x + 15(3.4 – 2x) = 28 $$

  $$ 10x + 51 – 30x = 28 $$

  $$ -20x = 28 – 51 $$

  $$ -20x = -23 \implies x = \frac{23}{20} = 1.15 $$

  \(x=1.15\)를 \(y = 3.4 – 2x\)에 대입: \(y = 3.4 – 2(1.15) = 3.4 – 2.3 = 1.1\)

• 답 구하기 및 확인:필요한 식품 A의 양은 \(1.15 \times 100 = 115\)g, 식품 B의 양은 \(1.1 \times 100 = 110\)g입니다.확인:
  • 단백질: \((20 \times 1.15) + (10 \times 1.1) = 23 + 11 = 34\)g (일치)
  • 탄수화물: \((10 \times 1.15) + (15 \times 1.1) = 11.5 + 16.5 = 28\)g (일치)

답: 식품 A는 115 g, 식품 B는 110 g을 섭취해야 한다.