📘 개념 이해: “한 근이 주어진 이차방정식”이란?
이차방정식의 한 근(해)이 특정 값으로 주어졌을 때, 그 이차방정식에 포함된 미정계수(알려지지 않은 상수, 예: \(a, m, k\) 등)의 값을 구하는 유형의 문제입니다.
이차방정식의 해의 가장 기본적인 의미는 “방정식에 대입하면 등식이 참이 되게 하는 값”이라는 것입니다.
따라서, 이 유형의 문제를 해결하는 핵심 전략은 주어진 근을 이차방정식의 미지수(\(x\))에 대입하여 미정계수에 대한 새로운 방정식을 만들고, 그 방정식을 풀어 미정계수의 값을 찾는 것입니다.
🔑 핵심 원칙:
이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 한 근이 \(p\)라면,
\(\implies x=p\)를 \(ax^2 + bx + c = 0\)에 대입하면 등식이 참이 됩니다.
$$ \implies ap^2 + bp + c = 0 $$
예를 들어 설명: 만약 이차방정식 \(x^2 – mx + 3 = 0\)의 한 근이 1이라고 한다면,
\(x=1\)을 방정식에 대입합니다:
$$ (1)^2 – m(1) + 3 = 0 $$
$$ 1 – m + 3 = 0 $$
$$ 4 – m = 0 $$
따라서 \(m = 4\)가 됩니다. (참고: 원본 이미지의 예시에서 빈칸 ①에 해당하는 값은, 그 문제에서 \(a\)값을 계산한 결과인 12입니다.)
💡 문제 풀이 단계
- 주어진 근을 방정식에 대입:문제에서 주어진 이차방정식의 미지수(\(x\)) 자리에 주어진 근의 값을 대입합니다.
- 미정계수에 대한 방정식 세우기:근을 대입하면 미정계수(예: \(a, k, m\) 등)만을 미지수로 하는 새로운 방정식이 만들어집니다. 이 방정식은 보통 해당 미정계수에 대한 일차방정식 형태가 됩니다.
- 미정계수의 값 구하기:2단계에서 세워진 방정식을 풀어 미정계수의 값을 구합니다.
- (필요시) 확인 및 다른 값 구하기:구한 미정계수의 값을 원래 이차방정식에 대입하여 주어진 근이 실제로 해가 되는지 확인하거나, 문제에서 다른 것을 추가로 요구하면 (예: 다른 한 근 구하기, 다른 식의 값 구하기 등) 다음 단계를 진행합니다.
✅ 예제 1: 간단한 미정계수 구하기
문제: 이차방정식 \(x^2 + ax – 6 = 0\)의 한 근이 \(x=2\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
풀이 과정:
1. 주어진 근을 방정식에 대입:
\(x=2\)를 \(x^2 + ax – 6 = 0\)에 대입합니다.
$$ (2)^2 + a(2) – 6 = 0 $$
2. 미정계수 \(a\)에 대한 방정식 세우기:
$$ 4 + 2a – 6 = 0 $$
$$ 2a – 2 = 0 $$
3. 미정계수 \(a\)의 값 구하기:
$$ 2a = 2 $$
$$ a = \frac{2}{2} = 1 $$
4. 확인: \(a=1\)을 원래 방정식에 대입하면 \(x^2 + x – 6 = 0\). 여기에 \(x=2\)를 대입하면 \(2^2 + 2 – 6 = 4 + 2 – 6 = 0\). 등식이 성립합니다.
답: \(a = 1\)
✅ 예제 2: 계수가 미정계수를 포함한 식으로 된 경우
문제: 이차방정식 \(x^2 + (k-1)x – 2k – 2 = 0\)의 한 근이 \(x=-3\)일 때, 상수 \(k\)의 값을 구하시오.
풀이 과정:
1. 주어진 근을 방정식에 대입:
\(x=-3\)을 \(x^2 + (k-1)x – 2k – 2 = 0\)에 대입합니다.
$$ (-3)^2 + (k-1)(-3) – 2k – 2 = 0 $$
2. 미정계수 \(k\)에 대한 방정식 세우기:
$$ 9 + (-3k + 3) – 2k – 2 = 0 $$
$$ 9 – 3k + 3 – 2k – 2 = 0 $$
동류항을 정리합니다:
$$ (9 + 3 – 2) + (-3k – 2k) = 0 $$
$$ 10 – 5k = 0 $$
3. 미정계수 \(k\)의 값 구하기:
$$ 10 = 5k $$
$$ k = \frac{10}{5} = 2 $$
4. 확인 (생략 가능): \(k=2\)를 원래 방정식에 대입하면 \(x^2 + (2-1)x – 2(2) – 2 = 0 \implies x^2 + x – 4 – 2 = 0 \implies x^2 + x – 6 = 0\). 여기에 \(x=-3\)을 대입하면 \((-3)^2 + (-3) – 6 = 9 – 3 – 6 = 0\). 등식이 성립합니다.
답: \(k = 2\)
✅ 예제 3: 미정계수가 여러 곳에 있는 경우
문제: 이차방정식 \(ax^2 – 5x + a = 0\)의 한 근이 \(x=2\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오. (단, \(a \neq 0\))
풀이 과정:
1. 주어진 근을 방정식에 대입:
\(x=2\)를 \(ax^2 – 5x + a = 0\)에 대입합니다.
$$ a(2)^2 – 5(2) + a = 0 $$
2. 미정계수 \(a\)에 대한 방정식 세우기:
$$ 4a – 10 + a = 0 $$
동류항을 정리합니다:
$$ 5a – 10 = 0 $$
3. 미정계수 \(a\)의 값 구하기:
$$ 5a = 10 $$
$$ a = \frac{10}{5} = 2 $$
4. 확인: \(a=2\)를 원래 방정식에 대입하면 \(2x^2 – 5x + 2 = 0\). 여기에 \(x=2\)를 대입하면 \(2(2)^2 – 5(2) + 2 = 2(4) – 10 + 2 = 8 – 10 + 2 = 0\). 등식이 성립합니다.
또한 \(a=2 \neq 0\)이므로 조건을 만족합니다.
답: \(a = 2\)
💡 마무리 정리:
- 이차방정식의 한 근이 주어지면, 그 근을 방정식의 \(x\)에 대입하는 것이 문제 해결의 첫걸음이자 가장 중요한 단계입니다.
- 근을 대입하면 미정계수에 대한 새로운 방정식 (주로 일차방정식)이 만들어지며, 이 방정식을 풀면 미정계수의 값을 구할 수 있습니다.
- 대입하여 식을 정리하고 계산할 때, 부호 실수나 분배법칙 적용 오류 등 기본적인 연산 실수를 하지 않도록 주의해야 합니다.
- 만약 문제에서 “다른 한 근을 구하라” 또는 “구한 미정계수를 이용하여 다른 식의 값을 구하라”고 요구한다면, 먼저 미정계수의 값을 정확히 구한 뒤, 그 값을 원래 이차방정식 또는 주어진 식에 대입하여 다음 계산을 진행해야 합니다.