📘 개념 이해: “한 근이 문자로 주어질 때 분수형 식의 값”이란?
이차방정식의 한 근이 특정 문자(예: \(\alpha, k\))로 주어졌을 때, 이 문자를 포함하는 분수 형태의 식(예: \(k + \frac{1}{k}\), \(k^2 + \frac{1}{k^2}\))의 값을 구하는 유형의 문제입니다.
이 문제 해결의 핵심은 “근은 방정식을 만족시킨다”는 기본 원리를 이용하고, 식을 적절히 변형하는 것입니다.
특히, \(x^2\)의 계수가 1이고 상수항이 0이 아닌 특정 값(예: 1 또는 -1)인 이차방정식 \(x^2 + ax \pm 1 = 0\)의 한 근이 \(k\)일 때, \(k \neq 0\)이므로 양변을 \(k\)로 나누어 \(k + \frac{1}{k}\) 또는 \(k – \frac{1}{k}\) 형태의 값을 쉽게 유도할 수 있습니다. (만약 \(k=0\)이라면 \(0^2 + a \cdot 0 \pm 1 = 0 \implies \pm 1 = 0\)이 되어 모순이므로 \(k \neq 0\)입니다.)
🔑 핵심 원칙:
이차방정식 \(x^2 + ax + 1 = 0\)의 한 근이 \(k\)라면 (\(k \neq 0\)),
\(x=k\)를 \(x^2 + ax + 1 = 0\)에 대입하면 \(k^2 + ak + 1 = 0\)이 성립합니다.
양변을 \(k\)로 나누면 (\(k \neq 0\)이므로 가능):
$$ \frac{k^2}{k} + \frac{ak}{k} + \frac{1}{k} = \frac{0}{k} $$
$$ k + a + \frac{1}{k} = 0 $$
$$ \therefore k + \frac{1}{k} = -a $$
유사하게, 이차방정식 \(x^2 + ax – 1 = 0\)의 한 근이 \(k\)라면 (\(k \neq 0\)),
\(k^2 + ak – 1 = 0 \implies k + a – \frac{1}{k} = 0 \implies k – \frac{1}{k} = -a \)
✨ 곱셈 공식의 변형 (자주 사용됨):
- \( \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \left(\frac{1}{a}\right)^2 = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2} \implies a^2 + \frac{1}{a^2} = \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 – 2 \)
- \( \left(a – \frac{1}{a}\right)^2 = a^2 – 2 \cdot a \cdot \frac{1}{a} + \left(\frac{1}{a}\right)^2 = a^2 – 2 + \frac{1}{a^2} \implies a^2 + \frac{1}{a^2} = \left(a – \frac{1}{a}\right)^2 + 2 \)
- \( \left(a – \frac{1}{a}\right)^2 = \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 – 4 \cdot a \cdot \frac{1}{a} = \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 – 4 \)
- \( \left(a + \frac{1}{a}\right)^2 = \left(a – \frac{1}{a}\right)^2 + 4 \cdot a \cdot \frac{1}{a} = \left(a – \frac{1}{a}\right)^2 + 4 \)
💡 문제 풀이 단계
- 주어진 근(문자)을 방정식에 대입:이차방정식의 \(x\) 자리에 주어진 근(문자, 예: \(\alpha\))을 대입하여 등식을 만듭니다. (예: \(\alpha^2 + a\alpha + 1 = 0\))
- 양변을 근(문자)으로 나누기:근이 0이 아님을 확인하고 (보통 상수항이 0이 아니면 근은 0이 아님), 1단계에서 얻은 등식의 양변을 근(문자)으로 나누어 \(\alpha + \frac{1}{\alpha}\) 또는 \(\alpha – \frac{1}{\alpha}\) 형태의 값을 구합니다.
- 곱셈 공식 변형 활용 (필요시):만약 문제에서 \(\alpha^2 + \frac{1}{\alpha^2}\) 또는 \((\alpha – \frac{1}{\alpha})^2\) 등 다른 형태의 식의 값을 요구하면, 2단계에서 구한 값을 곱셈 공식의 변형에 대입하여 값을 구합니다.
- 식의 값 계산:최종적으로 식의 값을 계산합니다.
✅ 예제 1: \(k + \frac{1}{k}\) 값 구하기
문제: 이차방정식 \(x^2 – 5x + 1 = 0\)의 한 근이 \(\alpha\)일 때, \(\alpha + \frac{1}{\alpha}\)의 값을 구하시오.
풀이 과정:
1. 주어진 근을 방정식에 대입:
\(\alpha\)가 \(x^2 – 5x + 1 = 0\)의 근이므로 대입하면,
$$ \alpha^2 – 5\alpha + 1 = 0 $$
2. 양변을 근으로 나누기:
상수항이 1이므로 \(\alpha \neq 0\)입니다. 양변을 \(\alpha\)로 나누면,
$$ \frac{\alpha^2}{\alpha} – \frac{5\alpha}{\alpha} + \frac{1}{\alpha} = \frac{0}{\alpha} $$
$$ \alpha – 5 + \frac{1}{\alpha} = 0 $$
$$ \alpha + \frac{1}{\alpha} = 5 $$
답: \(5\)
✅ 예제 2: \(k^2 + \frac{1}{k^2}\) 값 구하기 ( \(k-\frac{1}{k}\) 이용 )
문제: 이차방정식 \(x^2 + 3x – 1 = 0\)의 한 근이 \(\beta\)일 때, \(\beta^2 + \frac{1}{\beta^2}\)의 값을 구하시오.
풀이 과정:
1. 주어진 근을 방정식에 대입:
\(\beta\)가 \(x^2 + 3x – 1 = 0\)의 근이므로 대입하면,
$$ \beta^2 + 3\beta – 1 = 0 $$
2. 양변을 근으로 나누기:
상수항이 -1이므로 \(\beta \neq 0\)입니다. 양변을 \(\beta\)로 나누면,
$$ \beta + 3 – \frac{1}{\beta} = 0 $$
$$ \beta – \frac{1}{\beta} = -3 $$
3. 곱셈 공식 변형 활용:
구하고자 하는 값은 \(\beta^2 + \frac{1}{\beta^2}\)입니다. 곱셈 공식 변형 \(a^2 + \frac{1}{a^2} = (a – \frac{1}{a})^2 + 2\)를 이용합니다.
$$ \beta^2 + \frac{1}{\beta^2} = \left(\beta – \frac{1}{\beta}\right)^2 + 2 $$
여기에 \(\beta – \frac{1}{\beta} = -3\)을 대입하면,
$$ \beta^2 + \frac{1}{\beta^2} = (-3)^2 + 2 $$
4. 식의 값 계산:
$$ 9 + 2 = 11 $$
답: \(11\)
✅ 예제 3: \((k – \frac{1}{k})^2\) 값 구하기 ( \(k+\frac{1}{k}\) 이용 )
문제: 이차방정식 \(x^2 + 4x + 1 = 0\)의 한 근이 \(\gamma\)일 때, \(\left(\gamma – \frac{1}{\gamma}\right)^2\)의 값을 구하시오.
풀이 과정:
1. 주어진 근을 방정식에 대입:
\(\gamma\)가 \(x^2 + 4x + 1 = 0\)의 근이므로 대입하면,
$$ \gamma^2 + 4\gamma + 1 = 0 $$
2. 양변을 근으로 나누기:
상수항이 1이므로 \(\gamma \neq 0\)입니다. 양변을 \(\gamma\)로 나누면,
$$ \gamma + 4 + \frac{1}{\gamma} = 0 $$
$$ \gamma + \frac{1}{\gamma} = -4 $$
3. 곱셈 공식 변형 활용:
구하고자 하는 값은 \(\left(\gamma – \frac{1}{\gamma}\right)^2\)입니다. 곱셈 공식 변형 \((a – \frac{1}{a})^2 = (a + \frac{1}{a})^2 – 4\)를 이용합니다.
$$ \left(\gamma – \frac{1}{\gamma}\right)^2 = \left(\gamma + \frac{1}{\gamma}\right)^2 – 4 $$
여기에 \(\gamma + \frac{1}{\gamma} = -4\)를 대입하면,
$$ \left(\gamma – \frac{1}{\gamma}\right)^2 = (-4)^2 – 4 $$
4. 식의 값 계산:
$$ 16 – 4 = 12 $$
답: \(12\)
💡 마무리 정리:
- 이차방정식 \(x^2+ax \pm 1=0\) (또는 양변을 \(x^2\)의 계수로 나누어 이런 꼴로 만들 수 있는 경우)의 한 근이 \(k\)일 때, \(k \neq 0\)이므로 양변을 \(k\)로 나누어 \(k \pm \frac{1}{k}\)의 값을 구하는 것이 핵심입니다.
- \(k + \frac{1}{k}\) 또는 \(k – \frac{1}{k}\)의 값을 알고 있다면, 곱셈 공식의 변형을 이용하여 \(k^2 + \frac{1}{k^2}\), \(\left(k – \frac{1}{k}\right)^2\), \(\left(k + \frac{1}{k}\right)^2\) 등의 값을 쉽게 구할 수 있습니다.
- 실제로 근 \(k\)의 값을 구하려고 하기보다는, 식의 관계를 이용하여 값을 찾는 것이 더 효율적인 경우가 많습니다.
- 만약 이차방정식이 \(mx^2 + nx + m = 0\) (\(m \neq 0\)) 꼴이라면, 양변을 \(m\)으로 나누어 \(x^2 + \frac{n}{m}x + 1 = 0\) 꼴로 변형한 후 동일한 방법을 적용할 수 있습니다.