📘 개념 이해: “특수한 해를 갖는 연립일차부등식”이란?
“특수한 해를 갖는 연립일차부등식”은 일반적인 경우처럼 해가 \(a < x < b\) 와 같은 범위로 나오지 않고, 해가 없거나 또는 해가 단 하나의 값으로 나오는 경우를 말합니다.
이러한 특수한 해는 각 일차부등식의 해를 수직선 위에 나타냈을 때, 그 해들의 공통부분이 어떻게 형성되는지에 따라 결정됩니다.
풀이의 기본 원칙은 동일합니다: 각 부등식을 풀어 해를 구하고, 수직선을 이용하여 그 해들의 공통부분을 찾는 것입니다. 특수한 해는 이 공통부분이 일반적인 범위가 아닐 때 발생합니다.
🔑 특수한 해의 종류와 수직선 표현
(1) 연립부등식의 해가 없는 경우 \(\implies\) 공통부분이 없다.
각각의 부등식을 풀었을 때, 그 해를 수직선 위에 나타내면 겹치는 부분이 전혀 없는 경우입니다. 이미지에 나온 예시들은 다음과 같은 상황들을 보여줍니다:
- 예시 A: \(x < a\) 와 \(x > b\) (단, \(a < b\)) 처럼 두 해의 범위가 완전히 떨어져 있는 경우.
\(x < a\) 와 \(x > b\) (여기서 \(a < b\))
- 예시 B: \(x \le a\) 와 \(x > a\) 처럼 경계는 같지만 한쪽은 포함하지 않고 다른 쪽은 그 값을 초과하는 경우. (이미지에서는 \(x \ge a\)와 \(x < a\)로 표현될 수도 있음)
\(x < a\) 와 \(x \ge a\) (또는 \(x \le a\) 와 \(x > a\))
- 예시 C (이미지 중앙): \(x > a\) 와 \(x < a\) 와 같이 같은 값을 기준으로 서로 반대 방향으로만 해가 존재하고, 경계값을 포함하지 않는 경우.
\(x < a\) 와 \(x > a\)
(2) 연립부등식의 해가 한 개인 경우 \(\implies\) 공통부분이 \(x=a\)뿐이다.
각각의 부등식을 풀었을 때, 그 해를 수직선 위에 나타내면 정확히 한 점에서만 겹치는 경우입니다.
- 예시 D: \(x \ge a\) 와 \(x \le a\) 처럼 같은 경계값을 기준으로 서로 반대 방향이면서 양쪽 모두 등호를 포함하는 경우. 이 경우 공통부분은 오직 \(x=a\) 입니다.
\(x \ge a\) 와 \(x \le a\)
💡 문제 풀이 단계 (특수한 해를 갖는 연립일차부등식)
- 각각의 일차부등식 풀기:연립부등식을 이루는 각각의 일차부등식을 개별적으로 풀어 해를 구합니다. 계수가 분수나 소수이면 정수로 만들어 풉니다. 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 바뀌는 것에 주의합니다.
- 수직선 위에 해 나타내기:1단계에서 구한 각 부등식의 해를 하나의 수직선 위에 정확하게 나타냅니다. 등호 포함 여부(● 또는 ○)와 해의 방향(화살표)을 명확히 표시합니다.
- 공통범위 판단하기:수직선 위에서 모든 부등식의 해가 동시에 만족되는 겹치는 부분(공통범위)을 찾습니다.
- 겹치는 부분이 전혀 없으면 “해가 없다”.
- 정확히 한 점에서만 겹치면 “해가 \(x=a\)이다”.
- 일반적인 범위로 겹치면 그 범위를 답으로 합니다.
- 해 표현하기: 찾은 결과를 정확히 표현합니다.
✅ 예제 1: 해가 없는 경우
문제: 연립부등식 \( \begin{cases} 3x – 7 > 2x – 1 \\ x + 5 \le -2x + 2 \end{cases} \) 를 풀어라.
풀이 과정:
1. 첫 번째 부등식 풀기: \(3x – 7 > 2x – 1\)
$$ 3x – 2x > -1 + 7 $$
$$ x > 6 $$
2. 두 번째 부등식 풀기: \(x + 5 \le -2x + 2\)
$$ x + 2x \le 2 – 5 $$
$$ 3x \le -3 $$
$$ x \le -1 $$
3. 수직선 위에 나타내고 공통범위 찾기:
\(x > 6\) 와 \(x \le -1\)의 공통범위를 찾습니다.
수직선 표현: 공통부분 없음
두 범위는 서로 겹치는 부분이 없습니다.
답: 해가 없다.
✅ 예제 2: 해가 한 개인 경우
문제: 연립부등식 \( \begin{cases} 2(x – 1) \ge x – 3 \\ 4x + 1 \le 3x \end{cases} \) 를 풀어라.
풀이 과정:
1. 첫 번째 부등식 풀기: \(2(x – 1) \ge x – 3\)
$$ 2x – 2 \ge x – 3 $$
$$ 2x – x \ge -3 + 2 $$
$$ x \ge -1 $$
2. 두 번째 부등식 풀기: \(4x + 1 \le 3x\)
$$ 4x – 3x \le -1 $$
$$ x \le -1 $$
3. 수직선 위에 나타내고 공통범위 찾기:
\(x \ge -1\) 와 \(x \le -1\)의 공통범위를 찾습니다.
수직선 표현: x = -1 에서만 겹침
두 범위는 \(x = -1\)에서만 정확히 겹칩니다.
답: \(x = -1\)
💡 마무리 정리:
- 연립일차부등식의 해는 각 부등식의 해를 구한 후 수직선에 나타내어 공통부분을 찾는 것이 가장 확실한 방법입니다.
- 수직선에서 화살표가 서로 반대 방향으로 가면서 겹치는 부분이 없거나, 경계점에서 한쪽은 포함하고 다른 쪽은 포함하지 않아 겹치지 않으면 “해가 없다”가 됩니다.
- 수직선에서 화살표가 같은 경계점을 기준으로 서로 반대 방향을 향하면서 양쪽 모두 그 경계점을 포함할 때 (예: \(x \ge a\) 와 \(x \le a\)), 해는 “\(x = a\)” 와 같이 하나의 값으로 나옵니다.
- 부등식의 등호 포함 여부( \(\le, \ge\) 와 \(<, >\) )를 수직선에 표시할 때 채워진 점(●)과 비워진 점(○)으로 정확히 구분하는 것이 특수한 해를 판단하는 데 매우 중요합니다.
A < B < C 꼴 부등식 풀이 – 고1 수학 유형 문제 풀이