증가 감소에 대한 문제 – 일차방정식 활용 유형 풀이 – 중1수학

📘 개념 이해: “증가, 감소 문제”란?

“증가, 감소에 대한 문제”는 특정 기준값(예: 작년 학생 수, 원래 가격)에 비해 올해의 값이나 변화된 값이 일정 비율(%)만큼 늘어나거나 줄어드는 상황을 다룹니다.

이 유형의 문제는 주로 변화 후의 값 또는 변화량을 묻거나, 기준값을 미지수로 놓고 방정식을 세워 해결합니다.

핵심은 기준이 되는 양이 무엇인지 명확히 파악하고, 그 기준량에 대한 증가분 또는 감소분을 정확히 계산하여 변화 후의 양을 식으로 표현하는 것입니다.

💡 변화한 양 및 변화 후의 양 계산

증가 또는 감소 문제를 풀 때 가장 중요한 것은 변화량과 변화 후의 전체 양을 정확히 식으로 나타내는 것입니다.

💡 문제 풀이 단계 (증가, 감소 문제)

1. 기준 시점의 값 파악 및 미지수 설정:
   • 문제에서 변화의 기준이 되는 시점(예: 작년, 원래)의 값을 파악합니다.
   • 일반적으로 기준 시점의 특정 값(예: 작년 남학생 수)을 미지수 \(x\)로 설정합니다.
   • 만약 전체 기준값이 주어지고 두 부분으로 나뉜다면(예: 작년 전체 학생 수, 남학생과 여학생), 한 부분을 \(x\)로 놓으면 다른 부분은 (전체 기준값 – \(x\))로 표현합니다.
2. 각 부분의 변화량 및 변화 후의 양 표현:
   • 설정한 미지수 \(x\)와 주어진 증가율/감소율을 이용하여 각 부분의 변화한 양(증가분 또는 감소분)을 식으로 나타냅니다.
   • 필요하다면 각 부분의 변화 후의 전체 양도 식으로 나타냅니다.
3. 방정식 세우기:
   • 문제에서 주어진 정보에 따라 방정식을 세웁니다.
     • 전체 변화량이 주어진 경우: (각 부분의 변화량의 합) = (전체 변화량) (증가는 +, 감소는 -)
     • 변화 후의 전체 양이 주어진 경우: (각 부분의 변화 후의 양의 합) = (변화 후의 전체 양)
4. 단위 및 부호 주의: 퍼센트를 분수나 소수로 변환할 때 정확히 계산하고, 증가(+)와 감소(-) 부호를 명확히 적용합니다.
5. 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 미지수 \(x\)의 값을 구합니다.
6. 답 구하기 및 확인:
   • 구한 \(x\) 값이 문제의 조건(예: 사람 수는 자연수, 양수)에 맞는지 확인합니다.
   • 문제에서 무엇을 묻고 있는지 다시 한번 확인하고 (예: 작년 값인지, 올해 값인지, 변화량인지), \(x\) 값을 바탕으로 최종 답을 구합니다.
   • 구한 값을 이용하여 각 부분의 변화량, 변화 후의 양 등을 실제로 계산해보고 문제의 조건과 일치하는지 검산합니다.

✅ 예제 1: 전체 인원의 증가/감소

문제: 어느 중학교의 작년 전체 학생 수는 500명이었다. 올해는 남학생 수가 작년에 비해 8% 증가하고, 여학생 수는 작년에 비해 4% 감소하여 전체적으로는 10명이 증가하였다. 작년의 남학생 수는 몇 명이었는가?

풀이 과정:

• 미지수 설정: 작년의 남학생 수를 \(x\)명이라고 합니다.
• 작년의 여학생 수 표현: 작년 전체 학생 수가 500명이므로, 작년 여학생 수는 \((500 – x)\)명입니다.
• 올해의 학생 수 변화량 표현:
  • 남학생 증가 수: \(x \times \frac{8}{100} = 0.08x\) 명
  • 여학생 감소 수: \((500 – x) \times \frac{4}{100} = 0.04(500 – x)\) 명
• 방정식 세우기 (전체 변화량 기준): (남학생 증가 수) – (여학생 감소 수) = (전체 학생 증가 수)

  $$ 0.08x – 0.04(500 – x) = 10 $$

• 방정식 풀기: (양변에 100을 곱하여 소수점 없애기)

  $$ 8x – 4(500 – x) = 1000 $$

  $$ 8x – 2000 + 4x = 1000 $$

  $$ 12x = 1000 + 2000 $$

  $$ 12x = 3000 $$

  $$ x = \frac{3000}{12} = 250 $$

• 답 구하기 및 확인:작년의 남학생 수 \(x\)는 250명입니다.확인:
  • 작년 여학생 수: \(500 – 250 = 250\)명
  • 남학생 증가 수: \(250 \times 0.08 = 20\)명 증가
  • 여학생 감소 수: \(250 \times 0.04 = 10\)명 감소
  • 전체 변화: \(+20 – 10 = +10\)명. (문제 조건과 일치)

답: 작년의 남학생 수는 250명이었다.

✅ 예제 2: 상품 가격의 인상 및 인하

문제: 어떤 상품의 원래 가격을 10% 인상하였다가, 다시 그 인상된 가격에서 10%를 인하하였더니 원래 가격보다 500원이 낮아졌다. 이 상품의 원래 가격은 얼마였는가?

풀이 과정:

• 미지수 설정: 상품의 원래 가격을 \(x\)원이라고 합니다.
• 가격 변화 과정 표현:
  • 1차 인상 후 가격 (10% 인상): \(x\left(1 + \frac{10}{100}\right) = x(1.1) = 1.1x\) 원
  • 2차 인하 후 가격 (1차 인상된 가격에서 10% 인하): \((1.1x)\left(1 – \frac{10}{100}\right) = (1.1x)(0.9) = 0.99x\) 원
• 방정식 세우기: (원래 가격) – (최종 가격) = 500원 (최종 가격이 원래 가격보다 500원 낮으므로)

  $$ x – 0.99x = 500 $$

  또는 (최종 가격) = (원래 가격) – 500, 즉 \(0.99x = x – 500\) 으로 세워도 동일합니다.

• 방정식 풀기:

  $$ 0.01x = 500 $$

  $$ x = \frac{500}{0.01} = \frac{50000}{1} = 50000 $$

• 답 구하기 및 확인:상품의 원래 가격 \(x\)는 50,000원입니다.확인:
  • 1차 인상 후 가격: \(50000 \times 1.1 = 55000\)원
  • 2차 인하 후 가격: \(55000 \times 0.9 = 49500\)원
  • 원래 가격과의 차이: \(50000 – 49500 = 500\)원. (문제 조건과 일치)

답: 상품의 원래 가격은 50,000원이었다.