📘 개념 이해: “증가와 감소 문제”란?
“증가와 감소에 대한 문제”는 어떤 기준이 되는 양(예: 작년 인구, 원래 가격, 처음 무게 등)이 일정 비율(%)만큼 늘어나거나 줄어들 때, 변화한 양이나 변화 후의 전체 양을 계산하는 유형입니다. 이 문제는 일상생활에서도 자주 접할 수 있으며, 방정식을 세워 해결하는 대표적인 활용 문제입니다.
핵심은 무엇을 기준으로 하여 증가 또는 감소했는지를 정확히 파악하고, 그 기준량에 대한 증가율 또는 감소율을 적용하여 변화량과 변화 후의 양을 식으로 표현하는 것입니다.
🔑 핵심 공식 및 원칙
기준이 되는 양을 \(x\)라고 할 때,
- (1) \(x\)가 \(a\%\) 증가하는 경우:
- 증가량: \(x \times \frac{a}{100}\)
- 증가한 후의 전체의 양: (처음 양) + (증가량)
$$ x + x \times \frac{a}{100} = x\left(1 + \frac{a}{100}\right) $$
(이미지에서 빈칸 ①에 들어갈 것은 \(a\) 입니다.)
- (2) \(x\)가 \(b\%\) 감소하는 경우:
- 감소량: \(x \times \frac{b}{100}\)
- 감소한 후의 전체의 양: (처음 양) – (감소량)
$$ x – x \times \frac{b}{100} = x\left(1 – \frac{b}{100}\right) $$
(이미지에서 빈칸 ②에 들어갈 것은 \(b\) 입니다.)
문제에서 “작년”, “원래” 등의 표현이 나오면 그 시점의 값을 기준으로 삼고, 이를 미지수로 설정하는 경우가 많습니다. 변화 후의 값은 이 기준값과 변화율을 이용하여 계산합니다.
💡 방정식 세우기 전략
증가 또는 감소 문제는 주로 다음과 같은 형태로 방정식을 세우게 됩니다.
방정식 구성 방법1. 변화 후의 전체 양이 주어진 경우:
각 부분(예: 남학생, 여학생)의 기준값을 미지수로 놓고, 각 부분의 변화 후의 양을 계산한 다음, 이들의 합이 변화 후의 전체 양과 같다고 식을 세웁니다.
$$ (\text{A의 변화 후 양}) + (\text{B의 변화 후 양}) = (\text{전체 변화 후 양}) $$
2. 전체 변화량이 주어진 경우:
각 부분의 기준값을 미지수로 놓고, 각 부분의 변화량 (증가분 또는 감소분)을 계산한 다음, 이들의 합(증가는 +, 감소는 -)이 전체 변화량과 같다고 식을 세웁니다.
$$ (\text{A의 변화량}) + (\text{B의 변화량}) = (\text{전체 변화량}) $$
두 번째 방법(전체 변화량 기준)이 계산이 더 간편한 경우가 많습니다. 예를 들어, 작년 남학생을 \(x\)명, 여학생을 \(y\)명이라 하고, 남학생이 \(p\%\) 증가, 여학생이 \(q\%\) 감소하여 전체적으로 \(N\)명이 증가했다면,
\(x \cdot \frac{p}{100} – y \cdot \frac{q}{100} = N\) 과 같이 식을 세울 수 있습니다.
문제의 조건에 따라 두 방법 중 더 적절한 것을 선택하거나, 두 가지 방법 모두 활용 가능할 수 있습니다.
💡 문제 풀이 단계 (증가, 감소 문제)
- 기준 시점의 값 파악 및 미지수 설정:
- 변화의 기준이 되는 시점(예: 작년, 원래 가격)과 그 값을 파악합니다.
- 일반적으로 기준 시점의 특정 값(예: 작년 남학생 수, 작년 여학생 수)을 미지수 \(x\), \(y\) 등으로 설정합니다.
- 만약 기준 시점의 전체 값이 주어졌다면, 한 부분을 \(x\)로 놓고 다른 부분은 (전체 기준값 – \(x\))로 표현하여 미지수 개수를 줄일 수 있습니다.
- 각 부분의 변화량 또는 변화 후의 양 표현:
- 설정한 미지수와 주어진 증가율/감소율을 이용하여 각 부분의 변화한 양(증가분 또는 감소분)을 식으로 나타냅니다.
- 또는, 각 부분의 변화 후의 전체 양을 식으로 나타냅니다.
- 방정식 세우기: 문제에서 주어진 정보(전체 변화량 또는 변화 후의 전체 양)를 이용하여 방정식을 세웁니다. 미지수가 두 개면 연립방정식을 세웁니다.
- 단위 및 부호 주의: 퍼센트(\(\%\))를 분수(\(\frac{\text{값}}{100}\))나 소수로 정확히 변환하고, 증가(+)와 감소(-) 부호를 명확히 적용합니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 미지수의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 미지수 값이 문제의 조건(예: 사람 수는 자연수, 가격은 양수)에 맞는지 확인합니다.
- 문제에서 무엇을 묻고 있는지 (예: 작년 값인지, 올해 값인지, 변화량인지) 다시 한번 확인하고 최종 답을 구합니다.
- 구한 값을 이용하여 각 부분의 변화량, 변화 후의 양 등을 실제로 계산해보고 문제의 조건과 일치하는지 검산합니다.
✅ 예제 1: 학생 수 변화 (변화량 이용)
문제: 어느 중학교의 작년 전체 학생 수는 700명이었다. 올해는 남학생 수가 작년에 비해 8% 증가하고, 여학생 수는 작년에 비해 4% 감소하여, 전체적으로는 작년보다 14명이 증가하였다. 작년의 남학생 수는 몇 명이었는가?
풀이 과정:
- 미지수 설정:
- 작년의 남학생 수를 \(x\)명이라고 합니다.
- 작년 전체 학생 수가 700명이므로, 작년 여학생 수는 \((700 – x)\)명입니다.
- 올해의 학생 수 변화량 표현:
- 남학생 증가 수: \(x \times \frac{8}{100} = 0.08x\) 명
- 여학생 감소 수: \((700 – x) \times \frac{4}{100} = 0.04(700 – x)\) 명
- 방정식 세우기 (전체 변화량 기준): (남학생 증가 수) – (여학생 감소 수) = (전체 학생 증가 수)
$$ 0.08x – 0.04(700 – x) = 14 $$
- 방정식 풀기: (양변에 100을 곱하여 소수점 없애기)
$$ 8x – 4(700 – x) = 1400 $$
$$ 8x – 2800 + 4x = 1400 $$
$$ 12x = 1400 + 2800 $$
$$ 12x = 4200 $$
$$ x = \frac{4200}{12} = 350 $$
- 답 구하기 및 확인:작년의 남학생 수 \(x\)는 350명입니다.확인:
- 작년 여학생 수: \(700 – 350 = 350\)명
- 남학생 증가 수: \(350 \times 0.08 = 28\)명 증가
- 여학생 감소 수: \(350 \times 0.04 = 14\)명 감소
- 전체 변화: \(+28 – 14 = +14\)명. (문제 조건과 일치)
답: 작년의 남학생 수는 350명이었다.
✅ 예제 2: 상품 판매량 변화 (변화 후의 양 이용)
문제: 작년에 A, B 두 종류의 상품을 합하여 총 200개를 판매하였다. 올해는 작년에 비해 상품 A의 판매량은 20% 증가하였고, 상품 B의 판매량은 10% 감소하여, 두 상품의 총 판매량이 204개가 되었다. 작년 상품 A의 판매량은 몇 개였는가?
풀이 과정:
- 미지수 설정:
- 작년 상품 A의 판매량을 \(x\)개라고 합니다.
- 작년 총 판매량이 200개이므로, 작년 상품 B의 판매량은 \((200 – x)\)개입니다.
- 올해의 각 상품 판매량 표현:
- 올해 상품 A 판매량: \(x\left(1 + \frac{20}{100}\right) = 1.2x\) 개
- 올해 상품 B 판매량: \((200 – x)\left(1 – \frac{10}{100}\right) = 0.9(200 – x)\) 개
- 방정식 세우기 (올해 총 판매량 기준): (올해 A 판매량) + (올해 B 판매량) = (올해 총 판매량)
$$ 1.2x + 0.9(200 – x) = 204 $$
- 방정식 풀기: (양변에 10을 곱하여 소수점 없애기)
$$ 12x + 9(200 – x) = 2040 $$
$$ 12x + 1800 – 9x = 2040 $$
$$ 3x = 2040 – 1800 $$
$$ 3x = 240 $$
$$ x = 80 $$
- 답 구하기 및 확인:작년 상품 A의 판매량 \(x\)는 80개입니다.확인:
- 작년 B 판매량: \(200 – 80 = 120\)개
- 올해 A 판매량: \(80 \times 1.2 = 96\)개
- 올해 B 판매량: \(120 \times 0.9 = 108\)개
- 올해 총 판매량: \(96 + 108 = 204\)개. (문제 조건과 일치)
답: 작년 상품 A의 판매량은 80개였다.
💡 마무리 정리:
- 증가/감소 문제에서는 무엇이 기준량(\(x\))인지, 그리고 무엇에 대한 퍼센트인지를 명확히 파악하는 것이 가장 중요합니다. (예: ‘작년 남학생 수의 5% 증가’ vs ‘전체 학생 수의 5% 증가’)
- 변화량만을 이용하여 방정식을 세울 때는 증가는 (+), 감소는 (-) 부호를 정확히 적용해야 합니다.
- 변화 후의 전체 양을 계산할 때는 \(x\left(1 + \frac{a}{100}\right)\) 또는 \(x\left(1 – \frac{a}{100}\right)\) 공식을 활용하면 편리합니다.
- 문제에서 작년의 값을 묻는지, 올해의 값을 묻는지 주의하여 최종 답을 작성해야 합니다.
왕복하는 문제 – 속력이 다르게 왕복하는 경우 – 중2 연립방정식 활용