🔑 핵심 아이디어:
- 주어진 문제에서 구하려고 하는 “어떤 수”를 미지수 \(x\)로 설정한다.
- 문제의 내용을 바탕으로 \(x\)에 대한 방정식을 세운다.
- 세운 방정식을 풀어 \(x\)의 값을 구한다.
💡 풀이 전략: 5단계로 끝내기!
“어떤 수” 문제를 푸는 일반적인 단계는 다음과 같습니다.
- 1단계: 문제 이해 및 미지수 설정
- 문제를 꼼꼼히 읽고 무엇을 구해야 하는지 파악합니다.
- 구하려는 “어떤 수”를 미지수 \(x\)로 정합니다.
- 2단계: 문장을 식으로 변환
- 문제에 주어진 조건이나 관계를 \(x\)를 사용한 수학적 식으로 나타냅니다.
- 3단계: 방정식 세우기
- 변환된 식들을 이용하여 등식(=) 관계를 찾아 방정식을 만듭니다.
- 4단계: 방정식 풀기
- 세운 방정식을 풀어 미지수 \(x\)의 값을 구합니다.
- 5단계: 확인 및 답 쓰기 (검산)
- 구한 \(x\)의 값을 원래 문제의 조건에 대입하여 맞는지 확인합니다.
- 문제에서 요구하는 답을 정확히 작성합니다.
🔄 자주 나오는 표현 변환
문장제 문제에 자주 등장하는 표현들과 이를 수학식으로 바꾸는 방법입니다. (“어떤 수”를 \(x\)로 가정)
| 국어 표현 | 수학식 (어떤 수를 \(x\)) |
|---|---|
| 어떤 수에 5를 더한 수 / 어떤 수보다 5만큼 큰 수 | \(x + 5\) |
| 어떤 수에서 3을 뺀 수 / 어떤 수보다 3만큼 작은 수 | \(x – 3\) |
| 어떤 수의 4배 | \(4x\) |
| 어떤 수를 2로 나눈 수 (어떤 수의 \(\frac{1}{2}\)) | \(\frac{x}{2}\) 또는 \(\frac{1}{2}x\) |
| 어떤 수의 제곱 | \(x^2\) |
| 어떤 수와 7의 합 | \(x + 7\) |
| 어떤 수와 6의 차 | \(x – 6\) (만약 어떤 수가 6보다 크다는 조건) 또는 \(|x – 6|\) (단순 차이) |
| “A는 B와 같다”, “A와 B의 합은 C이다” | A \(=\) B, A \(+\) B \(=\) C |
| 연속하는 두 정수 | \(x, x+1\) |
| 연속하는 세 정수 | \(x-1, x, x+1\) 또는 \(x, x+1, x+2\) |
| 연속하는 두 짝수 (또는 홀수) | \(x, x+2\) (단, \(x\)는 짝수/홀수) |
| 연속하는 세 짝수 (또는 홀수) | \(x-2, x, x+2\) (단, \(x\)는 짝수/홀수) |
참고: “차”를 나타낼 때는 문맥을 잘 파악해야 합니다. 보통 큰 수에서 작은 수를 빼지만, 문제에서 명확하지 않으면 절댓값을 사용하거나 경우를 나눌 수 있습니다.
✅ 예제 1: 기본 문제
문제: 어떤 수에 2를 더하면 그 수의 3배와 같다. 어떤 수는?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 어떤 수를 \(x\)라고 합니다.
- 문장을 식으로 변환:
- “어떤 수에 2를 더하면”: \(x + 2\)
- “그 수의 3배”: \(3x\)
- 방정식 세우기: \(x + 2 = 3x\)
- 방정식 풀기:
$$ x + 2 = 3x $$
$$ 2 = 3x – x $$
$$ 2 = 2x $$
$$ x = 1 $$
- 확인: \(1+2 = 3\), \(3 \times 1 = 3\). 양변이 같으므로 정답입니다.
답: 어떤 수는 1이다.
✅ 예제 2: 연속하는 수 문제
문제: 연속하는 세 홀수의 합이 69일 때, 이 세 홀수 중 가장 작은 홀수는?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 가장 작은 홀수를 \(x\)라고 하면, 연속하는 세 홀수는 \(x, x+2, x+4\)입니다.
- 방정식 세우기: (세 홀수의 합) = 69
$$ x + (x+2) + (x+4) = 69 $$
- 방정식 풀기:
$$ 3x + 6 = 69 $$
$$ 3x = 69 – 6 $$
$$ 3x = 63 $$
$$ x = \frac{63}{3} $$
$$ x = 21 $$
- 확인: 세 홀수는 21, 23, 25이고, 합은 \(21+23+25 = 69\). 문제 조건과 일치합니다.
답: 가장 작은 홀수는 21이다.
✅ 예제 3: 복잡한 조건 문제
문제: 어떤 수에 3을 더하고 2배 한 값은, 그 어떤 수에서 1을 빼고 5배 한 값보다 4만큼 작다고 한다. 어떤 수는?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 어떤 수를 \(x\)라고 합니다.
- 문장을 식으로 변환:
- “어떤 수에 3을 더하고 2배 한 값”: \(2(x+3)\)
- “그 어떤 수에서 1을 빼고 5배 한 값”: \(5(x-1)\)
- 방정식 세우기: “\(2(x+3)\)은 \(5(x-1)\)보다 4만큼 작다”는 것은 \(2(x+3) = 5(x-1) – 4\)와 같습니다.
$$ 2(x+3) = 5(x-1) – 4 $$
- 방정식 풀기:
$$ 2x + 6 = 5x – 5 – 4 $$
$$ 2x + 6 = 5x – 9 $$
$$ 6 + 9 = 5x – 2x $$
$$ 15 = 3x $$
$$ x = 5 $$
- 확인: \(2(5+3) = 16\), \(5(5-1)-4 = 20-4 = 16\). 양변이 같으므로 정답입니다.
답: 어떤 수는 5이다.
💡 마무리 정리:
- 미지수 설정은 문제 풀이의 출발점입니다. 모르는 수를 \(x\)로 두는 것부터 시작하세요.
- 문장 해석 능력이 중요하며, 각 표현을 수학적으로 정확히 옮겨야 합니다.
- 문제에서 “같다”, “~이다” 등의 표현은 등식(=)을 만드는 핵심 단서입니다.
- 세운 방정식을 정확히 푸는 계산 능력이 필요합니다.
- 마지막으로 검산하는 습관을 들여 구한 답이 문제의 조건에 맞는지 꼭 확인하세요.