중1수학 – 일차방정식 활용 문제 풀이 유형 – 마주 보고 출발, 호수의 둘레를 도는 경우

📘 개념 이해: “마주 보고 출발하거나 호수 둘레를 도는 경우”란?

이 유형의 거리, 속력, 시간 문제는 두 사람(또는 물체)이 서로를 향해 이동하거나(마주 보고 출발), 원형의 트랙이나 호수 둘레를 같은 지점에서 또는 다른 지점에서 출발하여 도는 상황을 다룹니다.

이 문제들의 핵심은 두 사람이 만나는 시점까지 각자가 이동한 거리의 합 또는 차이가 특정 값(두 지점 사이의 거리, 호수의 둘레 등)과 같아진다는 관계를 이용하는 것입니다.

일반적으로 두 사람은 동시에 출발하는 경우가 많지만, 시간 차를 두고 출발하는 경우도 이전 유형과 결합하여 나올 수 있습니다.

💡 상황별 방정식 세우기

주어진 이미지에 나온 세 가지 주요 상황에 대해 방정식을 세우는 원리를 살펴보겠습니다. (두 사람이 만날 때까지 걸린 시간을 \(x\)라고 가정)

💡 문제 풀이 단계

1. 상황 파악 및 정보 정리:
   • 문제가 위 세 가지 유형 중 어떤 상황에 해당하는지 정확히 파악합니다.
   • 각 사람의 속력, 출발 지점, 이동 방향, 전체 거리 또는 호수 둘레의 길이 등의 정보를 정리합니다.
2. 미지수 설정:
   • 일반적으로 두 사람이 만날 때까지 걸린 시간을 미지수 \(x\)로 설정합니다.
   • 때로는 거리를 \(x\)로 놓아야 하는 경우도 있습니다.
3. 각 사람의 이동 거리(또는 시간) 표현:
   • \(\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}\) 공식을 사용하여, 각 사람이 \(x\)시간 동안 이동한 거리를 나타냅니다.
   • 단위 통일(시, 분, 초 / km, m / 시속, 분속, 초속)은 항상 중요합니다.
4. 방정식 세우기:
   • 위에서 설명한 각 상황별 핵심 원리(거리의 합 또는 거리의 차)를 이용하여 방정식을 세웁니다.
5. 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 \(x\)의 값을 구합니다.
6. 답 구하기 및 확인:
   • 구한 \(x\) 값이 시간 또는 거리로서 타당한지 (예: 양수인지) 확인합니다.
   • \(x\) 값을 바탕으로 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다. (예: 만나는 데 걸린 시간, 특정 사람이 이동한 거리 등)
   • 구한 값을 이용하여 각 사람의 이동 거리를 실제로 계산해보고, 문제의 조건(거리의 합 또는 차가 주어진 값과 일치하는지 등)을 만족하는지 검산합니다.

✅ 예제 1: 서로 다른 지점에서 마주 보고 걷다가 만나는 경우

문제: 14km 떨어진 두 지점에서 A와 B가 동시에 마주 보고 출발하였다. A는 시속 3km로 걷고, B는 시속 4km로 걷는다고 할 때, 두 사람이 만나게 되는 것은 출발한 지 몇 시간 후인가?

풀이 과정:

• 미지수 설정: 두 사람이 출발한 지 \(x\)시간 후에 만난다고 합니다.
• 각자의 이동 거리 표현:
  • A가 \(x\)시간 동안 간 거리: \(3x\) km
  • B가 \(x\)시간 동안 간 거리: \(4x\) km
• 방정식 세우기: (A가 간 거리) + (B가 간 거리) = (두 지점 사이의 거리)

  $$ 3x + 4x = 14 $$

• 방정식 풀기:

  $$ 7x = 14 $$

  $$ x = \frac{14}{7} = 2 $$

• 답 구하기 및 확인:두 사람은 출발한 지 \(x=2\)시간 후에 만납니다.확인: A가 간 거리 \(3 \times 2 = 6\)km, B가 간 거리 \(4 \times 2 = 8\)km. 두 거리의 합 \(6+8=14\)km. (전체 거리와 일치)

답: 출발한 지 2시간 후이다.

✅ 예제 2: 호수 둘레를 반대 방향으로 돌다가 만나는 경우

문제: 둘레의 길이가 1.5km인 호수가 있다. 같은 지점에서 A와 B가 동시에 출발하여 서로 반대 방향으로 호수 둘레를 따라 걷는다. A는 분속 60m로 걷고, B는 분속 90m로 걸을 때, 두 사람이 처음으로 다시 만나는 것은 출발한 지 몇 분 후인가?

풀이 과정:

• 단위 통일: 호수 둘레 1.5km = 1500m. (속력이 분속 m이므로)
• 미지수 설정: 두 사람이 출발한 지 \(x\)분 후에 처음으로 만난다고 합니다.
• 각자의 이동 거리 표현:
  • A가 \(x\)분 동안 간 거리: \(60x\) m
  • B가 \(x\)분 동안 간 거리: \(90x\) m
• 방정식 세우기: (A가 간 거리) + (B가 간 거리) = (호수의 둘레의 길이)

  $$ 60x + 90x = 1500 $$

• 방정식 풀기:

  $$ 150x = 1500 $$

  $$ x = \frac{1500}{150} = 10 $$

• 답 구하기 및 확인:두 사람은 출발한 지 \(x=10\)분 후에 처음으로 만납니다.확인: A가 간 거리 \(60 \times 10 = 600\)m, B가 간 거리 \(90 \times 10 = 900\)m. 두 거리의 합 \(600+900=1500\)m. (호수 둘레와 일치)

답: 출발한 지 10분 후이다.

✅ 예제 3: 호수 둘레를 같은 방향으로 돌다가 만나는 경우

문제: 둘레의 길이가 1km인 트랙이 있다. 같은 지점에서 철수와 영희가 동시에 출발하여 같은 방향으로 트랙을 돈다. 철수는 분속 80m로, 영희는 분속 60m로 달릴 때, 철수가 영희를 처음으로 따라잡아 만나는 것은 출발한 지 몇 분 후인가?

풀이 과정:

• 단위 통일: 트랙 둘레 1km = 1000m.
• 미지수 설정: 철수가 영희를 처음으로 따라잡아 만나는 것을 출발한 지 \(x\)분 후라고 합니다.
• 각자의 이동 거리 표현 (철수가 더 빠름):
  • 철수(빠른 쪽)가 \(x\)분 동안 간 거리: \(80x\) m
  • 영희(느린 쪽)가 \(x\)분 동안 간 거리: \(60x\) m
• 방정식 세우기: (철수가 간 거리) – (영희가 간 거리) = (트랙의 둘레의 길이)

  $$ 80x – 60x = 1000 $$

• 방정식 풀기:

  $$ 20x = 1000 $$

  $$ x = \frac{1000}{20} = 50 $$

• 답 구하기 및 확인:철수가 영희를 처음으로 따라잡는 것은 출발한 지 \(x=50\)분 후입니다.확인: 철수가 간 거리 \(80 \times 50 = 4000\)m, 영희가 간 거리 \(60 \times 50 = 3000\)m. 두 거리의 차 \(4000-3000=1000\)m. (트랙 둘레와 일치 – 즉, 철수가 영희보다 한 바퀴 더 돌았음)

답: 출발한 지 50분 후이다.