정수인 해의 개수가 주어진 일차부등식 – 고1 수학 개념 유형 문제 풀이

📘 개념 이해: “정수인 해의 개수가 주어진 연립일차부등식”이란?

“정수인 해의 개수가 주어진 연립일차부등식” 문제는 연립부등식의 해 중에서 정수인 해가 특정 개수만큼 존재하도록 하는 미정계수(상수 \(a, k\) 등)의 값의 범위를 구하는 유형입니다.

예를 들어, “연립부등식을 만족시키는 정수 \(x\)가 3개일 때”와 같은 조건이 주어집니다.

이 문제를 해결하는 핵심 전략은 다음과 같습니다:

1. 각 일차부등식을 풀어 미정계수를 포함한 해의 범위를 구합니다.
2. 두 해의 공통부분을 수직선 위에 나타냅니다.
3. 이 공통범위 안에 문제에서 요구하는 개수의 정수가 포함되도록 경계값의 위치를 정밀하게 조정하여 미정계수에 대한 부등식을 세웁니다.

경계값에 등호가 포함되는지 여부가 이 유형에서 매우 중요합니다.

💡 문제 풀이 단계 (정수인 해의 개수가 주어진 경우)

1. 각 일차부등식 풀기: 연립부등식을 구성하는 각 부등식을 미정계수를 포함한 채로 풀어 해의 범위를 구합니다. (예: \(x < k+1\), \(x \ge \frac{a}{2}\))
2. 연립부등식의 해 표현: 두 해의 공통부분을 미정계수를 사용하여 나타냅니다. (예: \(\frac{a}{2} \le x < k+1\))
3. 수직선에 해와 정수 표시: 연립부등식의 해의 범위를 수직선 위에 나타내고, 그 범위 안에 포함되어야 하는 정수들을 표시합니다.
4. 경계값의 조건 설정:공통범위의 양쪽 경계값이 어떤 정수와 어떤 정수 사이에 있어야 하는지, 그리고 경계값 자체가 정수가 되어도 되는지 (즉, 등호 포함 여부)를 판단하여 미정계수에 대한 부등식을 세웁니다.
   • 예를 들어, 공통 해가 \(A < x \le B\)이고 여기에 정수 \(n, n+1, \dots, m\)이 포함되어야 한다면:
     • \(A\)는 \(n-1\)과 \(n\) 사이에 있어야 하며, \(A\)는 \(n\)이 될 수 없습니다(등호 미포함). 즉, \(n-1 \le A < n\).
     • \(B\)는 \(m\)과 \(m+1\) 사이에 있어야 하며, \(B\)는 \(m\)이 될 수 있습니다(등호 포함). 즉, \(m \le B < m+1\).
5. 미정계수에 대한 부등식 풀기: 4단계에서 세운 미정계수에 대한 부등식(들)을 풀어 그 값의 범위를 구합니다.
6. 답 확인: 구한 미정계수의 범위가 문제의 다른 조건과 모순되지 않는지 확인합니다.

✅ 예제 1: 정수인 해가 2개일 때 미정계수 범위 구하기

문제: 연립부등식 \( \begin{cases} 3x – 1 > 2 \\ 2x – a < 5 \end{cases} \) 를 만족시키는 정수 \(x\)가 2개일 때, 실수 \(a\)의 값의 범위를 구하시오.

풀이 과정:

1. 첫 번째 부등식 풀기: \(3x – 1 > 2\)

$$ 3x > 3 \implies x > 1 $$

2. 두 번째 부등식 풀기: \(2x – a < 5\)

$$ 2x < 5 + a \implies x < \frac{5+a}{2} $$

3. 연립부등식의 해 표현:

공통 해는 \(1 < x < \frac{5+a}{2}\) 입니다.

4. 정수인 해가 2개일 조건 분석 (수직선 이용):

해가 \(1 < x < \frac{5+a}{2}\) 이고, 이 범위 안의 정수가 2개이려면 그 정수는 반드시 2와 3이어야 합니다.

수직선에서 볼 때, \(\frac{5+a}{2}\)는 3보다는 커야 하고, 4보다는 작거나 같아야 합니다.

• 만약 \(\frac{5+a}{2} = 3\) 이면, 해는 \(1 < x < 3\)이 되어 정수 해는 2 하나뿐입니다. (조건 불만족)
• 만약 \(\frac{5+a}{2}\)가 3보다 크고 4보다 작으면 (예: 3.5), 해는 \(1 < x < 3.5\)가 되어 정수 해는 2, 3 두 개입니다. (조건 만족)
• 만약 \(\frac{5+a}{2} = 4\) 이면, 해는 \(1 < x < 4\)가 되어 정수 해는 2, 3 두 개입니다. (조건 만족)
• 만약 \(\frac{5+a}{2}\)가 4보다 크면 (예: 4.1), 해는 \(1 < x < 4.1\)이 되어 정수 해는 2, 3, 4 세 개가 됩니다. (조건 불만족)

따라서 \(\frac{5+a}{2}\)의 범위는 \(3 < \frac{5+a}{2} \le 4\) 입니다.

5. 미정계수 \(a\)에 대한 부등식 풀기:

$$ 3 < \frac{5+a}{2} \le 4 $$

각 변에 2를 곱하면:

$$ 6 < 5+a \le 8 $$

각 변에서 5를 빼면:

$$ 6-5 < a \le 8-5 $$

$$ 1 < a \le 3 $$

답: \(1 < a \le 3\)

✅ 예제 2: 정수인 해가 3개일 때 미정계수 범위 구하기

문제: 연립부등식 \( \begin{cases} 2(x-1) \ge -4 \\ x+k < 2 \end{cases} \) 를 만족시키는 정수 \(x\)가 3개일 때, 실수 \(k\)의 값의 범위를 구하시오.

풀이 과정:

1. 첫 번째 부등식 풀기: \(2(x-1) \ge -4\)

$$ 2x – 2 \ge -4 \implies 2x \ge -2 \implies x \ge -1 $$

2. 두 번째 부등식 풀기: \(x+k < 2\)

$$ x < 2 – k $$

3. 연립부등식의 해 표현:

공통 해는 \(-1 \le x < 2-k\) 입니다.

4. 정수인 해가 3개일 조건 분석 (수직선 이용):

해가 \(-1 \le x < 2-k\) 이고, 이 범위 안의 정수가 3개이려면 그 정수는 반드시 -1, 0, 1이어야 합니다.

수직선에서 볼 때, \(2-k\)는 1보다는 커야 하고, 2보다는 작거나 같아야 합니다.

• 만약 \(2-k = 1\) 이면, 해는 \(-1 \le x < 1\)이 되어 정수 해는 -1, 0 두 개입니다. (조건 불만족)
• 만약 \(2-k\)가 1보다 크고 2보다 작으면 (예: 1.5), 해는 \(-1 \le x < 1.5\)가 되어 정수 해는 -1, 0, 1 세 개입니다. (조건 만족)
• 만약 \(2-k = 2\) 이면, 해는 \(-1 \le x < 2\)가 되어 정수 해는 -1, 0, 1 세 개입니다. (조건 만족)
• 만약 \(2-k\)가 2보다 크면 (예: 2.1), 해는 \(-1 \le x < 2.1\)이 되어 정수 해는 -1, 0, 1, 2 네 개가 됩니다. (조건 불만족)

따라서 \(2-k\)의 범위는 \(1 < 2-k \le 2\) 입니다.

5. 미정계수 \(k\)에 대한 부등식 풀기:

$$ 1 < 2-k \le 2 $$

각 변에서 2를 빼면:

$$ 1-2 < -k \le 2-2 $$

$$ -1 < -k \le 0 $$

각 변에 -1을 곱하면 부등호 방향이 바뀝니다:

$$ 1 > k \ge 0 \quad \text{즉, } 0 \le k < 1 $$

답: \(0 \le k < 1\)