📘 개념 이해: “절댓값 기호를 포함한 일차부등식”이란?
절댓값 기호(\(|\quad|\))를 포함하는 일차부등식은 절댓값 안의 식이 양수인 경우와 음수인 경우로 나누어 풀거나, 절댓값의 정의(원점으로부터의 거리)를 이용하여 해결합니다.
이 유형에서는 특히 절댓값 기호 안에는 일차식이 있고, 부등호의 다른 쪽에는 양수인 상수 \(c\)가 있는 경우를 다룹니다.
핵심은 절댓값의 의미를 이해하고, 주어진 부등호의 방향에 따라 절댓값을 어떻게 풀어내는지를 아는 것입니다.
🔑 절댓값 부등식의 기본 풀이 원칙
양수 \(c\)에 대하여,
- \(|ax+b| < c\) 꼴의 풀이:이는 원점으로부터 \(ax+b\)까지의 거리가 \(c\)보다 작다는 의미입니다. 따라서 \(ax+b\)는 \(-c\)와 \(c\) 사이에 있어야 합니다.
$$ |ax+b| < c \iff -c < ax+b < c $$
(부등호가 \(\le\) 인 경우에도 마찬가지로 \( -c \le ax+b \le c \) 로 풀어줍니다.)
- \(|ax+b| > c\) 꼴의 풀이:이는 원점으로부터 \(ax+b\)까지의 거리가 \(c\)보다 크다는 의미입니다. 따라서 \(ax+b\)는 \(c\)보다 크거나, 또는 \(-c\)보다 작아야 합니다.
$$ |ax+b| > c \iff ax+b < -c \quad \text{또는} \quad ax+b > c $$
(부등호가 \(\ge\) 인 경우에도 마찬가지로 \( ax+b \le -c \text{ 또는 } ax+b \ge c \) 로 풀어줍니다.)
이렇게 절댓값을 푼 후에는 각각의 일차부등식을 풀어 해를 구합니다. \(|ax+b| > c\) 꼴은 두 개의 해 범위를 “또는”으로 연결합니다.
주의: 위 공식은 부등호의 오른쪽에 있는 \(c\)가 양수일 때 적용됩니다.
- 만약 \(|ax+b| < (\text{음수})\) 라면, 절댓값은 항상 0 이상이므로 음수보다 작을 수 없습니다. 따라서 이때의 해는 “없다” 입니다.
- 만약 \(|ax+b| < 0\) 라면, 절댓값은 0보다 작을 수 없으므로 해는 “없다” 입니다.
- 만약 \(|ax+b| \le 0\) 라면, 절댓값은 0보다 작을 수 없고 0일 때만 가능하므로 \(ax+b=0\)의 해를 구합니다.
- 만약 \(|ax+b| > (\text{음수})\) 라면, 절댓값은 항상 0 이상이므로 항상 음수보다 큽니다. 따라서 \(ax+b\)가 정의되는 모든 실수가 해가 됩니다 (단, \(ax+b\)가 일차식이면 “모든 실수”).
- 만약 \(|ax+b| \ge 0\) 라면, 절댓값은 항상 0 이상이므로 \(ax+b\)가 정의되는 모든 실수가 해가 됩니다.
💡 문제 풀이 단계 (절댓값 포함 일차부등식)
- 부등식의 형태 확인: 주어진 부등식이 \(|X| < c\) 꼴인지, \(|X| > c\) 꼴인지 (여기서 \(X=ax+b\), \(c>0\)) 확인합니다. 등호 포함 여부도 확인합니다.
- 절댓값 풀기:
- \(|X| < c \implies -c < X < c\)
- \(|X| \le c \implies -c \le X \le c\)
- \(|X| > c \implies X < -c \text{ 또는 } X > c\)
- \(|X| \ge c \implies X \le -c \text{ 또는 } X \ge c\)
를 이용하여 절댓값 기호를 없앤 부등식(또는 연립부등식 형태)으로 변환합니다.
- 일차부등식 풀기:변환된 일차부등식(들)을 풀어 \(x\)의 해를 구합니다. \( -c < ax+b < c \) 꼴은 연립부등식 \( \begin{cases} -c < ax+b \\ ax+b < c \end{cases} \) 로 풀어 공통범위를 구합니다. \(X < -c \text{ 또는 } X > c\) 꼴은 각각의 해를 구하여 “또는”으로 연결합니다.
- 해 표현하기: 구한 해를 부등식 또는 수직선을 이용하여 나타냅니다.
✅ 예제 1: \(|ax+b| \le c\) 꼴의 부등식
문제: 부등식 \(|2x – 5| \le 3\)을 만족시키는 모든 정수 \(x\)의 합을 구하시오.
풀이 과정:
1. 절댓값 풀기: \(|2x – 5| \le 3\) 은 다음과 같이 변형됩니다.
$$ -3 \le 2x – 5 \le 3 $$
2. 연립부등식으로 나누어 풀거나, 한 번에 풀기:
각 변에 5를 더합니다:
$$ -3 + 5 \le 2x – 5 + 5 \le 3 + 5 $$
$$ 2 \le 2x \le 8 $$
각 변을 2로 나눕니다 (2는 양수이므로 부등호 방향 그대로):
$$ \frac{2}{2} \le \frac{2x}{2} \le \frac{8}{2} $$
$$ 1 \le x \le 4 $$
3. 정수 해 구하기 및 합 계산:
부등식을 만족시키는 정수 \(x\)는 1, 2, 3, 4 입니다.
정수 \(x\)의 합 = \(1 + 2 + 3 + 4 = 10\)
답: 10
✅ 예제 2: \(|ax+b| > c\) 꼴의 부등식
문제: 부등식 \(|4 – x| > 2\)의 해를 구하시오.
풀이 과정:
1. 절댓값 풀기: \(|4 – x| > 2\) 은 다음과 같이 변형됩니다. ( \(|4-x| = |x-4|\) 이므로 \(|x-4| > 2\)로 바꿔 풀어도 됩니다.)
$$ 4 – x < -2 \quad \text{또는} \quad 4 – x > 2 $$
2. 각 일차부등식 풀기:
첫 번째 부등식: \(4 – x < -2\)
$$ 4 + 2 < x $$
$$ 6 < x \quad \text{즉, } x > 6 $$
두 번째 부등식: \(4 – x > 2\)
$$ 4 – 2 > x $$
$$ 2 > x \quad \text{즉, } x < 2 $$
3. 해 표현하기:
두 해를 “또는”으로 연결합니다.
답: \(x < 2 \text{ 또는 } x > 6\)
💡 마무리 정리:
- 절댓값 기호를 포함한 일차부등식은 절댓값 안의 식이 0이 되는 값을 기준으로 범위를 나누어 푸는 것이 정석이지만, \(|X| < c\) 또는 \(|X| > c\) (단, \(c>0\)) 꼴은 위에서 설명한 기본 풀이 원칙을 이용하면 더 빠르고 간편하게 풀 수 있습니다.
- \(|X| < c \iff -c < X < c\)
- \(|X| > c \iff X < -c \text{ 또는 } X > c\)
- 부등호에 등호가 포함되면 풀이 과정에서도 등호를 포함시켜줍니다.
- \(c \le 0\)인 경우에는 절댓값의 성질(항상 0 이상)을 이용하여 해를 바로 판단할 수 있습니다.
절댓값 기호를 포함한 일차부등식 풀이 (상수항 비교) – 고1 일차부등식