📘 개념 이해: “전체의 양을 구하는 문제”란?
“전체의 양을 구하는 문제”는 어떤 전체적인 양(예: 책의 전체 쪽수, 물통의 전체 용량, 전체 학생 수 등)의 일부분들이 주어지고, 이 부분들의 합이 전체와 같거나 또는 전체에서 부분을 제외한 나머지가 주어지는 상황을 다룹니다. 이 유형의 문제는 주로 전체 양 자체를 미지수 \(x\)로 설정하고 방정식을 세웁니다.
핵심은 주어진 각 부분의 양을 전체 양 \(x\)에 대한 분수 또는 구체적인 값으로 표현하고, 이 부분들을 더하거나 빼서 전체 양 또는 주어진 다른 조건과 연결하는 것입니다.
🔑 핵심 원칙
- 전체를 \(x\)로 놓고, 일부분의 합이 전체와 같음을 이용하여 방정식을 세운다.
- 주어진 각 부분의 양을 전체 양 \(x\)에 대한 식으로 표현한다.
- “전체의 \(\frac{a}{b}\)” \(\rightarrow\) \(\frac{a}{b}x\)
- 구체적인 값 (예: 24쪽) \(\rightarrow\) 해당 값 그대로 사용
- 문제의 상황에 따라 다음 관계 중 하나를 이용하여 방정식을 세운다:
- (각 부분의 양의 합) = (전체 양 \(x\))(예: 첫째 날 읽은 양 + 둘째 날 읽은 양 + 셋째 날 읽은 양 = 전체 쪽수)
- (전체 양 \(x\)) – (사용한/읽은 부분의 양) = (남은 양)(예: 전체 쪽수 – (첫째 날 읽은 양 + 둘째 날 읽은 양) = 남은 쪽수)
- 방정식을 풀어 전체 양 \(x\)를 구한다.
💡 방정식 세우기 전략
전체의 양을 \(x\)로 설정했을 때, 문제의 정보를 바탕으로 방정식을 세우는 일반적인 방법은 다음과 같습니다.
방정식 구성 방법1. 모든 부분이 더해져 전체가 되는 경우:
예를 들어, 어떤 작업을 여러 날에 걸쳐 나누어 하고, 각 날에 한 작업량이 전체의 분수 또는 구체적인 양으로 주어지며, 마지막 날 남은 부분을 하여 전체 작업이 끝나는 경우.
$$ (\text{부분 1의 양}) + (\text{부분 2의 양}) + \dots + (\text{마지막 부분의 양}) = x \quad (\text{전체 양}) $$
2. 전체에서 부분을 제외한 나머지가 주어지는 경우:
예를 들어, 책을 며칠 동안 읽었는데, 읽은 부분의 합과 남은 부분이 주어지는 경우.
$$ (\text{읽은 부분 1}) + (\text{읽은 부분 2}) + \dots + (\text{남은 부분}) = x \quad (\text{전체 양}) $$
또는, 이렇게도 표현할 수 있습니다:
$$ x – \{(\text{읽은 부분 1}) + (\text{읽은 부분 2}) + \dots\} = (\text{남은 부분}) $$
이미지에서 “전체를 \(x\)로 놓고 일부분의 합이 전체와 같음을 이용하여 방정식을 세운다”는 설명은 위의 첫 번째 방법을 의미합니다. 하지만 문제 상황에 따라 두 번째 방법처럼 남은 양을 이용하여 식을 세우는 것이 더 편리할 수도 있습니다.
중요한 것은 모든 부분의 합이 반드시 전체 양 \(x\)와 같아져야 한다는 점을 명확히 인식하는 것입니다.
💡 문제 풀이 단계 (전체의 양 구하기)
- 문제 분석 및 정보 정리:
- 전체 양이 무엇인지(책의 쪽수, 물통의 용량 등) 파악합니다.
- 각 부분의 양이 전체의 분수로 주어졌는지, 아니면 구체적인 값으로 주어졌는지 확인합니다.
- 남은 양에 대한 정보가 있는지 확인합니다.
- 미지수 설정:
- 구하고자 하는 전체의 양을 미지수 \(x\)로 설정합니다.
- 각 부분의 양을 \(x\)에 대한 식으로 표현:
- “전체의 \(\frac{a}{b}\)”는 \(\frac{a}{b}x\)로 표현합니다.
- 구체적인 값으로 주어진 부분은 그 값을 그대로 사용합니다.
- 남은 양도 전체의 분수로 주어지면 \(\frac{c}{d}x\)로, 구체적인 값이면 그 값을 사용합니다.
- 방정식 세우기:
- (모든 부분의 양의 합) = (전체 양 \(x\)) 형태의 방정식을 세웁니다.
- 또는 \(x – (\text{사용한/처리한 부분의 합}) = (\text{남은 양})\) 형태로 세울 수도 있습니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 미지수 \(x\)(전체 양)의 값을 구합니다. 분수 계수가 포함된 일차방정식이 주로 나옵니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 \(x\) 값이 문제의 조건(예: 양수, 자연수 등)에 맞는지 확인합니다.
- \(x\) 값을 이용하여 각 부분의 양을 실제로 계산해보고, 이들의 합이 \(x\)와 일치하는지 또는 남은 양이 문제에서 주어진 값과 일치하는지 검산합니다.
✅ 예제 1: 물통에 물 채우기
문제: 어떤 물통에 물을 채우는데, 첫 번째에는 전체 용량의 \(\frac{1}{3}\)만큼 채우고, 두 번째에는 남은 물의 양의 \(\frac{1}{2}\)만큼 채웠더니 10L의 물이 더 들어갔다. 그 후 5L의 물을 더 채우니 물통이 가득 찼다고 한다. 이 물통의 전체 용량은 몇 L인가?
이 문제는 “남은 물의 양의 \(\frac{1}{2}\)” 부분이 조금 복잡하지만, 단계별로 생각하면 풀 수 있습니다.
풀이 과정:
- 미지수 설정: 물통의 전체 용량을 \(x\) L라고 합니다.
- 각 단계별 물의 양 표현:
- 첫 번째 채운 물의 양: \(\frac{1}{3}x\) L
- 첫 번째 채운 후 남은 물의 양: \(x – \frac{1}{3}x = \frac{2}{3}x\) L
- 두 번째 채운 물의 양 (남은 물의 \(\frac{1}{2}\) + 10L): \(\left(\frac{2}{3}x \times \frac{1}{2}\right) + 10 = \frac{1}{3}x + 10\) L
- 세 번째 추가로 채운 물의 양: 5 L
- 방정식 세우기: (첫 번째 채운 양) + (두 번째 채운 양) + (세 번째 채운 양) = (전체 용량)
$$ \frac{1}{3}x + \left(\frac{1}{3}x + 10\right) + 5 = x $$
- 방정식 풀기:
$$ \frac{2}{3}x + 15 = x $$
$$ 15 = x – \frac{2}{3}x $$
$$ 15 = \frac{1}{3}x $$
양변에 3을 곱하면:
$$ x = 15 \times 3 = 45 $$
- 답 구하기 및 확인:물통의 전체 용량 \(x\)는 45L입니다.확인:
- 첫 번째: \(\frac{1}{3} \times 45 = 15\)L (남은 양 30L)
- 두 번째: \((\frac{1}{2} \times 30) + 10 = 15 + 10 = 25\)L
- 세 번째: 5L
- 총 채운 양: \(15 + 25 + 5 = 45\)L. (전체 용량과 일치)
답: 물통의 전체 용량은 45 L이다.
✅ 예제 2: 용돈 사용하기
문제: 지수는 용돈을 받아서 첫째 주에는 전체의 \(\frac{2}{5}\)를 사용했고, 둘째 주에는 8,000원을 사용했으며, 셋째 주에는 남은 돈의 \(\frac{1}{3}\)을 사용했더니 12,000원이 남았다. 지수가 처음에 받은 용돈은 얼마인가?
풀이 과정:
-
- 미지수 설정: 처음에 받은 용돈을 \(x\)원이라고 합니다.
- 각 단계별 사용/남은 돈 표현:
- 첫째 주 사용액: \(\frac{2}{5}x\) 원
- 첫째 주 후 남은 돈: \(x – \frac{2}{5}x = \frac{3}{5}x\) 원
- 둘째 주 사용액: 8,000 원
- 둘째 주 후 남은 돈: \(\frac{3}{5}x – 8000\) 원
- 셋째 주 사용액 (둘째 주 후 남은 돈의 \(\frac{1}{3}\)): \(\frac{1}{3}\left(\frac{3}{5}x – 8000\right)\) 원
- 방정식 세우기: (둘째 주 후 남은 돈) – (셋째 주 사용액) = (최종 남은 돈)
$$ \left(\frac{3}{5}x – 8000\right) – \frac{1}{3}\left(\frac{3}{5}x – 8000\right) = 12000 $$
식을 간단히 하기 위해, \(A = \frac{3}{5}x – 8000\)이라고 하면 \(A – \frac{1}{3}A = 12000\), 즉 \(\frac{2}{3}A = 12000\)입니다.
$$ \frac{2}{3}\left(\frac{3}{5}x – 8000\right) = 12000 $$
- 방정식 풀기:양변에 \(\frac{3}{2}\)을 곱하면:
$$ \frac{3}{5}x – 8000 = 12000 \times \frac{3}{2} $$
$$ \frac{3}{5}x – 8000 = 18000 $$
$$ \frac{3}{5}x = 18000 + 8000 $$
$$ \frac{3}{5}x = 26000 $$
$$ x = 26000 \times \frac{5}{3} = \frac{130000}{3} $$
- 답 구하기 및 확인:용돈 \(x = \frac{130000}{3}\) 원입니다. (숫자가 깔끔하게 떨어지지 않는 예제가 되었네요. 실제 문제는 보통 정수 답이 나옵니다.)
만약 답이 정수로 나왔다면, 각 단계별 사용액과 남은 돈을 계산하여 최종적으로 12,000원이 남는지 확인합니다.
(위 예제는 수치 설정으로 분수 답이 나옴. 풀이 과정 참고용)
💡 마무리 정리:
- 전체의 양을 구하는 문제의 기본은 전체 양을 미지수 \(x\)로 설정하는 것입니다.
- 문제에 주어진 각 부분의 양을 \(x\)에 대한 식(분수 또는 상수)으로 정확히 표현하는 것이 중요합니다.
- “남은 양의 몇 분의 몇“과 같은 표현은, 이전 단계까지 계산된 남은 양에 해당 분수를 곱하여 계산합니다.
- 방정식은 (각 부분의 합) = (전체 \(x\)) 또는 \(x – (\text{사용한 양의 합}) = (\text{남은 양})\)의 형태로 세워집니다.
- 분수 계산이 많으므로, 통분과 양변에 적절한 수를 곱하여 식을 간단히 하는 연습이 필요합니다.
원가 정가에 대한 문제 – 중1수학 – 일차방정식 활용 대표유형 개념 및 문제