🔑 핵심 원칙
십의 자리의 숫자가 \(x\), 일의 자리의 숫자가 \(y\)인 두 자리 자연수에서:
- ① 처음 수 (원래 수):
$$ 10x + y $$
(예: 십의 자리가 3, 일의 자리가 7이면 \(10 \times 3 + 7 = 37\))
- ② 십의 자리의 숫자와 일의 자리의 숫자를 바꾼 수:바꾼 수의 십의 자리 숫자는 \(y\), 일의 자리 숫자는 \(x\)가 됩니다.
$$ 10y + x $$
(예: 37의 숫자를 바꾸면 73이 되고, 이는 \(10 \times 7 + 3 = 73\))
이미지에서 ②번 항목의 빈칸 ①에 들어갈 것은 \(x\) 입니다.
주의: \(x\)와 \(y\)는 한 자리 자연수(십의 자리 \(x\)는 1~9, 일의 자리 \(y\)는 0~9)입니다.
💡 방정식 세우기 전략
두 자리 자연수 문제는 주로 다음과 같은 조건들이 주어지며, 이를 바탕으로 방정식을 세웁니다.
일반적인 조건과 식 표현
- 각 자리 숫자의 합에 대한 조건:“십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자의 합은 \(S\)이다.” \(\implies x + y = S\)
- 원래 수와 바꾼 수의 관계에 대한 조건:“바꾼 수는 처음 수보다 \(K\)만큼 크다.” \(\implies (10y + x) = (10x + y) + K\)”바꾼 수는 처음 수의 \(M\)배이다.” \(\implies (10y + x) = M \times (10x + y)\)”처음 수와 바꾼 수의 합은 \(T\)이다.” \(\implies (10x + y) + (10y + x) = T\)
- 각 자리 숫자의 관계에 대한 조건:“십의 자리 숫자는 일의 자리 숫자보다 \(N\)만큼 크다.” \(\implies x = y + N\)
이러한 조건들을 조합하여 연립방정식을 세우거나, 한 문자로 정리하여 하나의 방정식을 만들어 풉니다.
문제에서 “숫자”를 의미하는지 “수”를 의미하는지 정확히 구분해야 합니다.
- 숫자: 0, 1, 2, …, 9 와 같이 각 자리를 나타내는 기호.
- 수: 37, 73과 같이 숫자들이 모여 이루는 값.
예를 들어, “십의 자리 숫자”는 \(x\) 자체를 의미하지만, “십의 자리 숫자가 나타내는 값”은 \(10x\)입니다.
💡 문제 풀이 단계 (두 자리 자연수 문제)
- 미지수 설정:
- 십의 자리 숫자를 \(x\), 일의 자리 숫자를 \(y\)로 설정합니다.
- 각 숫자의 범위(\(x\): 1~9, \(y\): 0~9)를 염두에 둡니다.
- 처음 수와 바꾼 수 표현:
- 처음 수: \(10x + y\)
- 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 바꾼 수: \(10y + x\)
- 방정식 세우기:
- 문제에 주어진 조건들을 이용하여 \(x\)와 \(y\)에 대한 방정식을 하나 또는 두 개 세웁니다. (보통 연립방정식 형태가 됩니다.)
- 예: (각 자리 숫자의 합에 대한 식), (처음 수와 바꾼 수의 관계에 대한 식) 등
- 방정식 풀기: 세운 연립방정식을 풀어 \(x\)와 \(y\)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 \(x\)와 \(y\)가 각 자리 숫자의 범위에 맞는지 (한 자리 자연수/0인지) 확인합니다.
- \(x\)와 \(y\)를 이용하여 문제에서 요구하는 처음 수(\(10x+y\)) 또는 다른 값을 구합니다.
- 구한 수와 숫자들을 원래 문제의 모든 조건에 대입하여 만족하는지 검산합니다.
✅ 예제 1: 각 자리 숫자의 합과 수의 관계
문제: 십의 자리 숫자가 일의 자리 숫자보다 3만큼 큰 두 자리 자연수가 있다. 이 자연수의 각 자리 숫자의 합의 5배는 처음 수와 같다고 한다. 처음 수를 구하시오.
풀이 과정:
- 미지수 설정:
- 일의 자리 숫자를 \(y\)라고 합니다.
- 십의 자리 숫자는 일의 자리 숫자보다 3만큼 크므로 \((y+3)\)입니다. (즉, \(x = y+3\))
- (조건: \(y+3 \le 9 \implies y \le 6\), 그리고 \(y+3 \ge 1 \implies y \ge -2\). 또한 \(y \ge 0\). 따라서 \(0 \le y \le 6\))
- 처음 수 표현: 십의 자리 숫자가 \((y+3)\), 일의 자리 숫자가 \(y\)이므로
$$ \text{처음 수} = 10(y+3) + y = 10y + 30 + y = 11y + 30 $$
- 각 자리 숫자의 합 표현:
$$ \text{각 자리 숫자의 합} = (y+3) + y = 2y + 3 $$
- 방정식 세우기: “각 자리 숫자의 합의 5배는 처음 수와 같다.”
$$ 5(2y + 3) = 11y + 30 $$
- 방정식 풀기:
$$ 10y + 15 = 11y + 30 $$
$$ 15 – 30 = 11y – 10y $$
$$ -15 = y $$
- 답 구하기 및 확인:일의 자리 숫자 \(y\)가 -15로 나왔습니다. 이는 숫자의 범위(\(0 \le y \le 6\))에 맞지 않습니다. 따라서 이 문제의 조건을 만족하는 두 자리 자연수는 없습니다. (예제 설정 오류 가능성)
수정된 예제 1: 일의 자리 숫자가 십의 자리 숫자보다 3만큼 큰 두 자리 자연수가 있다. 이 자연수는 각 자리 숫자의 합의 4배와 같다고 한다. 처음 수를 구하시오.
풀이 (수정된 예제 1):
- 십의 자리 숫자를 \(x\). 일의 자리 숫자는 \(x+3\). (단, \(x \ge 1, x+3 \le 9 \implies 1 \le x \le 6\))
- 처음 수: \(10x + (x+3) = 11x + 3\)
- 각 자리 숫자의 합: \(x + (x+3) = 2x + 3\)
- 방정식: \(11x + 3 = 4(2x + 3)\)
- \(11x + 3 = 8x + 12\)
- \(11x – 8x = 12 – 3\)
- \(3x = 9 \implies x = 3\)
- 십의 자리: 3, 일의 자리: \(3+3=6\). 처음 수: 36. (조건 \(1 \le 3 \le 6\) 만족)
- 검산: 각 자리 숫자의 합 \(3+6=9\). 합의 4배는 \(9 \times 4 = 36\). 처음 수와 일치.
답 (수정된 예제 1): 처음 수는 36이다.
✅ 예제 2: 처음 수와 바꾼 수의 관계
문제: 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자의 합이 11인 두 자리 자연수가 있다. 이 자연수의 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 바꾼 수는 처음 수보다 27만큼 작다고 한다. 처음 수를 구하시오.
풀이 과정:
- 미지수 설정:
- 처음 수의 십의 자리 숫자를 \(x\), 일의 자리 숫자를 \(y\)라고 합니다.
- 조건을 식으로 표현:
- “십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자의 합이 11이다”: \(x + y = 11\) — (식 ①)
- 처음 수: \(10x + y\)
- 바꾼 수: \(10y + x\)
- “바꾼 수는 처음 수보다 27만큼 작다”: \((10y + x) = (10x + y) – 27\) — (식 ②)
- 방정식 정리 및 풀기 (연립방정식):식 ②를 정리하면:
$$ 10y + x – 10x – y = -27 $$
$$ 9y – 9x = -27 $$
양변을 9로 나누면:
$$ y – x = -3 \quad \text{또는} \quad x – y = 3 \text{ — (식 ③)} $$
이제 (식 ①)과 (식 ③)을 연립하여 풉니다:
\(x + y = 11\)
\(x – y = 3\)
두 식을 더하면: \((x+y) + (x-y) = 11 + 3 \implies 2x = 14 \implies x = 7\)
\(x=7\)을 (식 ①)에 대입하면: \(7 + y = 11 \implies y = 4\)
- 답 구하기 및 확인:십의 자리 숫자 \(x=7\), 일의 자리 숫자 \(y=4\)입니다.처음 수: \(10 \times 7 + 4 = 74\)확인:
- 각 자리 숫자의 합: \(7 + 4 = 11\) (일치)
- 바꾼 수: 47
- 처음 수(74)와 바꾼 수(47)의 관계: \(47 = 74 – 27\). (바꾼 수가 처음 수보다 27만큼 작음. 일치)
답: 처음 수는 74이다.
💡 마무리 정리:
- 두 자리 자연수 문제는 십의 자리 숫자를 \(x\), 일의 자리 숫자를 \(y\)로 설정하고, 수를 \(10x + y\)로 표현하는 것이 기본입니다.
- 각 자리 숫자의 범위(\(x \in \{1, …, 9\}\), \(y \in \{0, …, 9\}\))를 항상 염두에 두고, 구한 답이 이 범위에 맞는지 확인해야 합니다.
- 문제에서 주어진 여러 조건을 각각 \(x\)와 \(y\)에 대한 식으로 정확히 옮기고, 이 식들을 연립하여 푸는 경우가 많습니다.
- “바꾼 수”는 \(10y + x\)로 표현됨을 잊지 마세요.
가격 개수 유형 – 연립방정식 활용 – 중2수학 대표 유형 개념 및 문제 풀이