📘 개념 이해: “자릿수 문제”란?
“자릿수에 대한 문제”는 두 자리 또는 세 자리 자연수의 각 자릿값(예: 십의 자리 숫자, 일의 자리 숫자) 사이의 관계나, 원래 수와 자리를 바꾼 수 사이의 관계 등을 이용하여 원래의 수를 찾는 유형입니다.
이 문제의 핵심은 각 자리에 있는 숫자를 미지수로 놓고, 그 숫자가 나타내는 실제 값(자릿값)을 정확히 표현하는 것입니다.
예를 들어, 숫자 53은 십의 자리 숫자가 5, 일의 자리 숫자가 3이지만, 그 값은 \(5 \times 10 + 3 \times 1 = 50 + 3 = 53\)으로 표현됩니다. 이 원리를 미지수에 적용하는 것이 중요합니다.
🔑 핵심 아이디어:
- 각 자리의 숫자를 미지수 (예: 십의 자리 숫자 \(x\), 일의 자리 숫자 \(y\))로 설정한다.
- 설정한 미지수를 사용하여 원래의 수를 자릿값을 고려한 식으로 표현한다.
- 문제에 주어진 조건 (예: 각 자리 숫자의 합, 자리를 바꾼 수와의 관계 등)을 이용하여 방정식을 세운다.
- 방정식을 풀어 미지수 값을 구하고, 원래의 수를 찾는다.
💡 자연수를 자릿값으로 표현하기
자연수를 각 자리의 숫자를 이용하여 표현할 때, 각 숫자가 가지는 실제 값(자릿값)을 곱해주어야 합니다.
(1) 두 자리 자연수 표현
십의 자리 숫자가 \(x\), 일의 자리 숫자가 \(y\)인 두 자리 자연수이 자연수는 \(x\)와 \(y\)를 그냥 나열한 \(xy\)가 아니라, 각 숫자의 자릿값을 곱하여 더한 형태로 표현해야 합니다.
십의 자리 숫자는 그 값에 10을 곱하고, 일의 자리 숫자는 그 값에 1을 곱하여 더합니다.
$$ \text{두 자리 자연수} = 10 \times (\text{십의 자리 숫자}) + 1 \times (\text{일의 자리 숫자}) $$
따라서, 십의 자리 숫자가 \(x\), 일의 자리 숫자가 \(y\)인 두 자리 자연수는 다음과 같이 표현됩니다:
$$ 10 \times x + 1 \times y = \mathbf{10x + y} $$
예를 들어, 십의 자리 숫자가 7이고 일의 자리 숫자가 2인 수는 \(10 \times 7 + 2 = 72\)입니다.
이미지에 있는 빈칸 ①은 \(10x\) 입니다. (이미지 하단의 “답 ① \(10x\)”와 일치)
(2) 세 자리 자연수 표현
백의 자리 숫자가 \(a\), 십의 자리 숫자가 \(b\), 일의 자리 숫자가 \(c\)인 세 자리 자연수백의 자리 숫자는 그 값에 100을 곱하고, 십의 자리 숫자는 10을, 일의 자리 숫자는 1을 곱하여 더합니다.
$$ \text{세 자리 자연수} = 100a + 10b + c $$
예를 들어, 백의 자리 숫자가 3, 십의 자리 숫자가 4, 일의 자리 숫자가 5인 수는 \(100 \times 3 + 10 \times 4 + 5 = 300 + 40 + 5 = 345\)입니다.
(3) 자리를 바꾼 수 표현하기
자릿수 문제에서는 원래 수와 그 수의 자리를 바꾼 수를 비교하는 경우가 많습니다.
십의 자리 숫자가 \(x\), 일의 자리 숫자가 \(y\)인 두 자리 자연수 \(10x+y\)이 수의 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 바꾼 수는, 일의 자리 숫자가 \(x\)가 되고 십의 자리 숫자가 \(y\)가 됩니다.
따라서 자리를 바꾼 수는 다음과 같이 표현됩니다:
$$ 10y + x $$
예: 원래 수가 72 (\(x=7, y=2\))이면 자리를 바꾼 수는 27 (\(10 \times 2 + 7\))입니다.
💡 문제 풀이 단계
- 미지수 설정: 각 자리의 숫자를 미지수(예: \(x, y\))로 정합니다. (단, 각 자리의 숫자는 0부터 9까지의 정수이며, 가장 높은 자릿수는 0이 될 수 없습니다.)
- 원래 수와 조건에 따른 수 표현: 미지수를 사용하여 원래의 수, 자리를 바꾼 수 등을 자릿값을 고려한 식으로 나타냅니다.
- 방정식 세우기: 문제에 주어진 조건들 (예: 각 자리 숫자의 합, 원래 수와 바꾼 수의 관계 등)을 이용하여 연립방정식 또는 하나의 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 미지수 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 미지수 값들이 각 자리의 숫자로서의 조건을 만족하는지 확인합니다 (0~9 정수, 맨 앞자리 0 아님).
- 미지수 값을 원래 수의 표현식에 대입하여 실제 수를 구합니다.
- 구한 수가 문제의 모든 조건을 만족하는지 검산합니다.
✅ 예제 1: 두 자리 자연수 기본 문제
문제: 십의 자리 숫자가 \(x\)이고 일의 자리 숫자가 \(y\)인 두 자리 자연수가 있다. 이 자연수는 각 자리 숫자의 합의 4배와 같다. 또한, 이 자연수의 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 바꾼 수는 처음 수보다 27만큼 크다고 한다. 처음 자연수를 구하시오.
풀이 과정:
- 미지수 설정 및 수 표현:
- 처음 자연수: \(10x + y\)
- 각 자리 숫자의 합: \(x + y\)
- 자리를 바꾼 수: \(10y + x\)
- 방정식 세우기:조건 1: “이 자연수는 각 자리 숫자의 합의 4배와 같다.”
$$ 10x + y = 4(x+y) \quad \cdots ① $$
조건 2: “십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 바꾼 수는 처음 수보다 27만큼 크다.”
$$ 10y + x = (10x + y) + 27 \quad \cdots ② $$
- 방정식 풀기 (연립방정식):식 ① 정리:
$$ 10x + y = 4x + 4y $$
$$ 6x = 3y $$
$$ y = 2x \quad \cdots ③ $$
식 ② 정리:
$$ 10y + x = 10x + y + 27 $$
$$ 9y – 9x = 27 $$
양변을 9로 나누면:
$$ y – x = 3 \quad \cdots ④ $$
식 ③을 식 ④에 대입:
$$ (2x) – x = 3 $$
$$ x = 3 $$
구한 \(x=3\)을 식 ③에 대입:
$$ y = 2 \times 3 = 6 $$
따라서 십의 자리 숫자는 3, 일의 자리 숫자는 6입니다. (\(x, y\)는 1~9 사이 정수 조건 만족)
- 답 구하기 및 확인:처음 자연수는 \(10x + y = 10(3) + 6 = 30 + 6 = 36\).확인:
- 각 자리 숫자의 합: \(3+6=9\). 처음 수 36은 \(9 \times 4 = 36\)과 같음 (조건 1 만족).
- 자리를 바꾼 수: 63. 처음 수 36보다 \(63-36=27\)만큼 큼 (조건 2 만족).
답: 처음 자연수는 36이다.
✅ 예제 2: 일의 자리 숫자가 주어진 경우
문제: 일의 자리 숫자가 7인 두 자리 자연수가 있다. 이 자연수의 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자를 바꾼 수는 처음 수보다 9만큼 작다고 한다. 처음 자연수를 구하시오.
변경된 문제로 풀이:
$$ 70 + x = (10x + 7) – 9 $$
$$ 70 + x = 10x – 2 $$
$$ 70 + 2 = 10x – x $$
$$ 72 = 9x $$
$$ x = 8 $$
- 답 구하기 및 확인:십의 자리 숫자는 8, 일의 자리 숫자는 7. 처음 자연수는 87. (\(x=8\)은 조건 만족)자리를 바꾼 수는 78. 처음 수 87보다 \(87-78=9\)만큼 작습니다.
답 처음 자연수는 87이다.
💡 마무리 정리:
- 자릿수 문제의 핵심은 각 자리의 숫자를 미지수로 놓고, 그 수의 실제 값(자릿값)을 정확히 표현하는 것입니다. (예: \(10x+y\))
- 문제에서 주어진 여러 조건들을 조합하여 연립방정식을 세우는 경우가 많습니다.
- 미지수로 설정한 각 자리의 숫자는 0부터 9까지의 정수여야 하며, 가장 높은 자릿수는 0이 될 수 없다는 제약 조건을 항상 염두에 두어야 합니다.
- 계산 후 구한 미지수 값이 이 제약 조건을 만족하는지, 그리고 문제의 모든 서술된 조건을 만족하는지 꼼꼼한 검산이 필요합니다.
합이 일정한 문제 – 중1수학 – 일차방정식 활용 유형 (4)