기차가 철교 또는 터널 문제 – 거리, 속력, 시간 문제 -중1 수학 – 일차방정식 활용

📘 개념 이해: “기차가 철교/터널을 지나는 경우”란?

이 유형의 문제는 길이가 있는 기차가 특정 길이의 철교나 터널을 완전히 통과하는 상황을 다룹니다. 일반적인 점(point)의 이동과 달리, 기차 자체가 길이를 가지고 있기 때문에 “완전히 통과한다”는 의미를 정확히 이해하는 것이 매우 중요합니다.

핵심은 기차가 철교나 터널을 완전히 통과하기 위해 실제로 이동해야 하는 총 거리가 얼마인지를 파악하는 것입니다. 이 실제 이동 거리는 (철교/터널의 길이)와 (기차의 길이)를 모두 고려해야 합니다.

💡 기차가 완전히 통과할 때 이동한 거리

기차가 길이가 있는 구조물(철교, 터널 등)을 완전히 통과할 때, 기차가 실제로 이동한 거리는 다음과 같이 계산됩니다.

💡 문제 풀이 단계 (기차 통과 문제)

1. 문제 분석 및 정보 정리:
   • 기차의 속력, 철교/터널의 길이, 기차의 길이, 통과하는 데 걸린 시간 등의 정보를 파악합니다.
   • 주로 기차의 속력은 일정하다고 가정합니다.
2. 미지수 설정:
   • 문제에서 구하고자 하는 값(일반적으로 기차의 길이 또는 기차의 속력)을 미지수 \(x\)로 설정합니다.
3. 기차가 이동한 총 거리 표현:
   • 위에서 설명한 공식을 사용하여, 기차가 철교/터널을 완전히 통과하는 데 이동한 총 거리를 “(구조물의 길이) + (기차의 길이)”로 나타냅니다.
   • 여기에 미지수 \(x\)가 포함될 수 있습니다.
4. 방정식 세우기:
   • 거리, 속력, 시간의 기본 관계 중 하나를 이용하여 방정식을 세웁니다.
     • 시간이 주어진 경우: \(\text{시간} = \frac{(\text{구조물 길이}) + (\text{기차 길이})}{\text{속력}}\)
     • 속력이 주어진 경우 (또는 속력을 미지수로 놓은 경우): \(\text{속력} = \frac{(\text{구조물 길이}) + (\text{기차 길이})}{\text{시간}}\)
     • 거리가 핵심인 경우: \((\text{구조물 길이}) + (\text{기차 길이}) = \text{속력} \times \text{시간}\)
   • 만약 문제에서 두 가지 다른 통과 상황이 주어진다면 (예: 서로 다른 길이의 터널을 통과), 두 상황 모두에서 기차의 속력은 일정하다는 점을 이용하여 연립방정식을 세우거나, 속력을 매개로 두 식을 같다고 놓을 수 있습니다.
5. 단위 통일: 거리(m, km), 시간(초, 분, 시), 속력(m/s, m/분, km/h)의 단위를 반드시 통일합니다. 예를 들어, 길이가 m이고 시간이 초이면 속력은 m/s로 계산하는 것이 일관적입니다.
6. 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 \(x\)의 값을 구합니다.
7. 답 구하기 및 확인:
   • 구한 \(x\) 값이 길이 또는 속력으로서 타당한지 (예: 양수인지) 확인합니다.
   • \(x\) 값을 바탕으로 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다.
   • 구한 값을 이용하여 실제 이동 거리, 시간, 속력 등을 계산해보고 문제의 조건과 일치하는지 검산합니다.

✅ 예제 1: 기차의 길이 구하기 (일정한 속력)

문제: 일정한 속력으로 달리는 기차가 길이가 500m인 철교를 완전히 통과하는 데 30초가 걸리고, 길이가 900m인 터널을 완전히 통과하는 데 50초가 걸렸다. 이 기차의 길이는 몇 m인가?

풀이 과정:

• 미지수 설정: 기차의 길이를 \(x\) m라고 합니다. 기차의 속력을 \(v\) m/s라고 합니다 (속력은 일정).
• 상황 1: 철교 통과
  • 기차가 이동한 총 거리: \(500 + x\) m
  • 걸린 시간: 30초
  • 속력 관계식: \(v = \frac{500 + x}{30}\) — (식 ①)
• 상황 2: 터널 통과
  • 기차가 이동한 총 거리: \(900 + x\) m
  • 걸린 시간: 50초
  • 속력 관계식: \(v = \frac{900 + x}{50}\) — (식 ②)
• 방정식 세우기: 기차의 속력 \(v\)는 두 상황에서 일정하므로, (식 ①) = (식 ②)

  $$ \frac{500 + x}{30} = \frac{900 + x}{50} $$

• 방정식 풀기: (양변에 분모의 최소공배수인 150을 곱하거나, 대각선으로 곱함)

  $$ 50(500 + x) = 30(900 + x) $$

  $$ 25000 + 50x = 27000 + 30x $$

  $$ 50x – 30x = 27000 – 25000 $$

  $$ 20x = 2000 $$

  $$ x = \frac{2000}{20} = 100 $$

• 답 구하기 및 확인:기차의 길이 \(x\)는 100m입니다.확인 (속력 계산):
  • 철교 통과 시 속력: \(v = \frac{500 + 100}{30} = \frac{600}{30} = 20\) m/s
  • 터널 통과 시 속력: \(v = \frac{900 + 100}{50} = \frac{1000}{50} = 20\) m/s
  • 두 경우 모두 속력이 20m/s로 일정하므로 문제 조건과 일치합니다.

답: 기차의 길이는 100 m이다.

✅ 예제 2: 기차의 속력 구하기

문제: 길이가 150m인 기차가 길이가 450m인 다리를 완전히 건너는 데 20초가 걸렸다. 이 기차의 속력은 몇 m/s인가?

풀이 과정:

• 미지수 설정: 기차의 속력을 \(v\) m/s라고 합니다.
• 주어진 값:
  • 기차의 길이: 150m
  • 다리의 길이: 450m
  • 걸린 시간: 20초
• 기차가 이동한 총 거리 계산:

  $$ (\text{이동한 총 거리}) = (\text{다리의 길이}) + (\text{기차의 길이}) = 450 + 150 = 600 \text{ m} $$

• 방정식 세우기 (속력 이용): \(\text{속력} = \frac{\text{거리}}{\text{시간}}\)

  $$ v = \frac{600}{20} $$

• 방정식 풀기 (계산):

  $$ v = 30 $$

• 답 구하기 및 확인:기차의 속력 \(v\)는 30m/s입니다.확인: 이동 거리 \(30 \text{ m/s} \times 20 \text{ s} = 600 \text{ m}\). (다리 길이 + 기차 길이와 일치)

답: 기차의 속력은 30 m/s이다.