📘 개념 이해: “일에 대한 문제”란?
“일에 대한 문제”는 어떤 작업을 한 사람 또는 여러 사람이 함께 수행하여 완성하는 상황을 다룹니다. 이 유형의 문제는 주로 전체 일을 완성하는 데 걸리는 시간, 또는 각 사람이 단위 시간(예: 하루, 한 시간) 동안 할 수 있는 일의 양을 묻습니다.
이 유형의 문제를 푸는 가장 중요한 기본 가정은 전체 일의 양을 1로 간주하는 것입니다.
이를 바탕으로 각 사람이 단위 시간 동안 할 수 있는 일의 양(일의 능률 또는 일률)을 분수로 표현하고, 이를 이용하여 방정식을 세웁니다.
🔑 핵심 원칙
- 전체 일의 양을 1로 놓는다. 이것이 가장 중요한 첫 단계입니다.
- 어떤 일을 혼자서 완성하는 데 \(x\)일 (또는 \(x\)시간)이 걸린다면,
- 그 사람이 하루(또는 한 시간)에 하는 일의 양은 \(\frac{1}{x}\)이다.
- 여러 사람이 함께 일할 경우, 각 사람이 단위 시간 동안 하는 일의 양을 더하여 함께 일할 때의 단위 시간당 일의 양을 구한다.
- (단위 시간당 하는 일의 양) \(\times\) (일한 시간) = (한 일의 총량) 관계를 이용하여 방정식을 세운다.
- 일이 완성되었다는 것은 한 일의 총량이 1이 되었다는 의미이다.
💡 단위 시간당 일의 양 표현
일에 대한 문제에서 가장 기본적인 아이디어는 각 개인이 단위 시간(예: 하루, 한 시간) 동안 얼마나 많은 일을 할 수 있는지를 파악하는 것입니다.
단위 시간당 하는 일의 양어떤 일을 혼자서 완성하는 데 \(x\)일이 걸린다고 가정합니다.
이때, 전체 일의 양을 1이라고 하면,
이 사람이 하루에 하는 일의 양은 다음과 같습니다:
$$ (\text{하루에 하는 일의 양}) = \frac{(\text{전체 일의 양})}{(\text{일을 완성하는 데 걸리는 총 일수})} = \frac{1}{x} $$
제공해주신 이미지에서 “전체 일의 양을 1이라 하면 하루에 하는 일의 양은 ①이다.”라는 설명이 있고, 답 ①은 \(\frac{1}{x}\) 입니다.
예를 들어, 어떤 일을 A가 혼자서 10일 만에 완성한다면, A는 하루에 전체 일의 \(\frac{1}{10}\)만큼을 할 수 있습니다. 만약 B가 혼자서 15일 만에 완성한다면, B는 하루에 전체 일의 \(\frac{1}{15}\)만큼을 할 수 있습니다.
💡 문제 풀이 단계 (일에 대한 문제)
- 전체 일의 양 설정: 전체 완성해야 할 일의 양을 1로 놓습니다.
- 각 사람의 단위 시간당 일의 양 계산:
- 각 사람이 혼자서 일을 완성하는 데 걸리는 시간이 주어지면, 이를 이용하여 각 사람이 단위 시간(하루, 한 시간 등) 동안 하는 일의 양을 분수(\(\frac{1}{\text{걸리는 시간}}\))로 표현합니다.
- 미지수 설정:
- 문제에서 구하고자 하는 값(예: 함께 일한 기간, 특정인이 일한 기간 등)을 미지수 \(x\)로 설정합니다.
- 방정식 세우기:
- (각 사람이 한 일의 양의 총합) = (완성된 전체 일의 양, 즉 1) 이라는 원리를 이용하여 방정식을 세웁니다.
- 각 사람이 한 일의 양은 (단위 시간당 하는 일의 양) \(\times\) (그 사람이 일한 시간)으로 계산합니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 미지수 \(x\)의 값을 구합니다. 분수 계산이 포함될 수 있습니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 \(x\) 값이 시간으로서 타당한지 (예: 양수인지) 확인합니다.
- \(x\) 값을 바탕으로 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다.
- 필요하다면, 구한 \(x\)값을 이용하여 각자가 한 일의 양을 계산하고, 그 합이 1이 되는지 검산합니다.
✅ 예제 1: 두 사람이 함께 일하여 완성하는 경우
문제: 어떤 일을 완성하는 데 A는 혼자서 6일이 걸리고, B는 혼자서 12일이 걸린다고 한다. 이 일을 A와 B가 함께 한다면 며칠 만에 완성할 수 있겠는가?
풀이 과정:
- 전체 일의 양: 1로 놓습니다.
- 단위 시간당 일의 양:
- A가 하루에 하는 일의 양: \(\frac{1}{6}\)
- B가 하루에 하는 일의 양: \(\frac{1}{12}\)
- 미지수 설정: A와 B가 함께 일하여 완성하는 데 걸리는 날짜를 \(x\)일이라고 합니다.
- 방정식 세우기: (A가 \(x\)일 동안 한 일의 양) + (B가 \(x\)일 동안 한 일의 양) = (전체 일의 양)
$$ \left(\frac{1}{6} \times x\right) + \left(\frac{1}{12} \times x\right) = 1 $$
$$ \frac{x}{6} + \frac{x}{12} = 1 $$
- 방정식 풀기: (양변에 분모의 최소공배수인 12를 곱한다)
$$ 12 \cdot \frac{x}{6} + 12 \cdot \frac{x}{12} = 12 \cdot 1 $$
$$ 2x + x = 12 $$
$$ 3x = 12 $$
$$ x = 4 $$
- 답 구하기 및 확인:A와 B가 함께 일하면 4일 만에 완성할 수 있습니다.확인: 4일 동안 A가 한 일 \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\), B가 한 일 \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). 둘이 한 일의 합 \(\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1\). (전체 일 완성)
답: 4일 만에 완성할 수 있다.
✅ 예제 2: 도중에 한 사람이 그만두는 경우
문제: 어떤 일을 완성하는 데 형은 10시간, 동생은 15시간이 걸린다. 형과 동생이 함께 2시간 동안 일한 후, 나머지를 동생이 혼자서 완성하였다. 동생이 혼자서 일한 시간은 몇 시간인가?
풀이 과정:
- 전체 일의 양: 1
- 단위 시간당 일의 양:
- 형이 한 시간에 하는 일의 양: \(\frac{1}{10}\)
- 동생이 한 시간에 하는 일의 양: \(\frac{1}{15}\)
- 미지수 설정: 동생이 혼자서 일한 시간을 \(x\)시간이라고 합니다.
- 방정식 세우기: (형과 동생이 함께 2시간 동안 한 일의 양) + (동생이 혼자 \(x\)시간 동안 한 일의 양) = 1
$$ \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{15}\right) \times 2 + \left(\frac{1}{15} \times x\right) = 1 $$
- 방정식 풀기:괄호 안의 분수를 먼저 계산: \(\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3+2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}\)
$$ \left(\frac{1}{6}\right) \times 2 + \frac{x}{15} = 1 $$
$$ \frac{2}{6} + \frac{x}{15} = 1 $$
$$ \frac{1}{3} + \frac{x}{15} = 1 $$
양변에 분모의 최소공배수인 15를 곱한다:
$$ 15 \cdot \frac{1}{3} + 15 \cdot \frac{x}{15} = 15 \cdot 1 $$
$$ 5 + x = 15 $$
$$ x = 10 $$
- 답 구하기 및 확인:동생이 혼자서 일한 시간은 10시간입니다.확인: 함께 일한 양 \(\frac{1}{3}\). 동생이 혼자 일한 양 \(\frac{10}{15} = \frac{2}{3}\). 총 일한 양 \(\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1\). (전체 일 완성)
답: 동생이 혼자서 일한 시간은 10시간이다.
💡 마무리 정리:
- 일에 대한 문제의 가장 기본은 전체 일의 양을 1로 설정하는 것입니다.
- 각 사람이 단위 시간(하루, 한 시간 등) 동안 할 수 있는 일의 양(일률)을 구하는 것이 중요합니다. 이는 (1 / 혼자서 일을 마치는 데 걸리는 총 시간)으로 계산됩니다.
- 여러 사람이 함께 일할 때는 각 사람의 단위 시간당 일의 양을 합하여 함께 일할 때의 효율을 구합니다.
- 방정식은 (총 한 일의 양) = 1 또는 문제 상황에 맞게 (A가 한 일) + (B가 한 일) = 1 형태로 세웁니다.
- 시간 단위(일, 시간, 분)를 문제 전체에서 일관성 있게 사용해야 합니다.
전체의 양을 구하는 문제 유형 – 중1 수학 – 일차방정식 활용 문제