일에 대한 문제 – 연립방정식 활용 유형 개념 설명

📘 개념 이해: “일에 대한 문제”란?

“일에 대한 문제”는 어떤 특정한 작업(일)을 한 사람 또는 여러 사람이 함께 수행하여 완성하는 데 걸리는 시간, 또는 각자의 작업 능률(단위 시간당 할 수 있는 일의 양) 등을 다루는 유형입니다. 발전 유형에서는 여러 사람이 번갈아 가며 일하거나, 도중에 참여 인원이 바뀌는 등 좀 더 복잡한 상황이 제시될 수 있습니다.

이 유형의 문제를 푸는 근본적인 원칙은 변하지 않습니다. 핵심은 전체 일의 양을 기준으로 각자가 단위 시간 동안 할 수 있는 일의 양을 파악하고, 이를 바탕으로 방정식을 세우는 것입니다.

💡 발전 유형에서의 접근 전략

여러 사람이 관련되거나 작업 조건이 변하는 경우, 각자의 작업 능률(단위 시간당 일의 양)을 미지수로 설정하는 것이 효과적입니다.

💡 문제 풀이 단계 (일에 대한 발전 문제)

1. 전체 일의 양 설정: 전체 완성해야 할 일의 양을 1로 놓습니다.
2. 미지수 설정:
   • 각 사람(또는 기계)이 단위 시간(하루, 한 시간 등) 동안 하는 일의 양(일률)을 미지수 \(x, y\) 등으로 설정합니다.
3. 각 상황을 식으로 표현:
   • 문제에 주어진 각 작업 상황(누가 며칠 동안 일했는지, 함께 일했는지 등)에 따라, 각자가 한 일의 양 또는 함께 한 일의 양을 미지수를 사용하여 나타냅니다.(한 일의 양 = 일률 \(\times\) 일한 시간)
4. 연립방정식 세우기:
   • 주어진 두 가지 이상의 작업 완료 조건에 대해 각각 (총 한 일의 양) = 1 이라는 방정식을 세워 연립방정식을 구성합니다.
5. 연립방정식 풀기: 세운 연립방정식을 풀어 각 미지수(각 사람의 일률)의 값을 구합니다.
6. 답 구하기 및 확인:
   • 구한 일률 값을 이용하여 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 계산합니다. (예: 특정인이 혼자 일할 때 걸리는 시간 = \(\frac{1}{\text{그 사람의 일률}}\))
   • 구한 답이 문제의 조건에 맞는지 검산합니다.

✅ 예제 1: 두 사람이 번갈아 또는 함께 일하는 경우

문제: 어떤 일을 완성하는 데 A와 B가 함께 하면 6일이 걸리고, A가 먼저 4일 동안 일한 후 나머지를 B가 9일 동안 일하여 완성하였다. 이 일을 A가 혼자서 하면 며칠이 걸리겠는가?

풀이 과정:

• 전체 일의 양: 1
• 미지수 설정:
  • A가 하루에 하는 일의 양을 \(x\)
  • B가 하루에 하는 일의 양을 \(y\)
• 방정식 세우기:조건 1: A와 B가 함께 하면 6일 만에 완성

  $$ (x + y) \times 6 = 1 \implies 6x + 6y = 1 \text{ — (식 ①)} $$

  조건 2: A가 4일, B가 9일 일하여 완성

  $$ 4x + 9y = 1 \text{ — (식 ②)} $$

• 연립방정식 풀기:(식 ①) \(\times 3\): \(18x + 18y = 3\)(식 ②) \(\times 2\): \(\;8x + 18y = 2\)

  위 두 식을 빼면: \((18x + 18y) – (8x + 18y) = 3 – 2\)

  $$ 10x = 1 \implies x = \frac{1}{10} $$

  \(x = \frac{1}{10}\)을 (식 ①)에 대입:

  $$ 6\left(\frac{1}{10}\right) + 6y = 1 \implies \frac{6}{10} + 6y = 1 $$

  $$ 6y = 1 – \frac{6}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} $$

  $$ y = \frac{2}{5} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $$

• 답 구하기 및 확인:A가 하루에 하는 일의 양은 \(\frac{1}{10}\)입니다. 따라서 A가 혼자서 일을 완성하는 데 걸리는 날은 \(\frac{1}{x} = \frac{1}{(1/10)} = 10\)일입니다.B가 하루에 하는 일의 양은 \(\frac{1}{15}\)이므로, B가 혼자 하면 15일이 걸립니다.

  확인 (조건 1): 함께 하루에 하는 일 \(\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3+2}{30} = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}\). 6일이면 \(6 \times \frac{1}{6} = 1\) (완성).

  확인 (조건 2): A가 4일 한 일 \(4 \times \frac{1}{10} = \frac{4}{10}\). B가 9일 한 일 \(9 \times \frac{1}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = \frac{6}{10}\). 총 한 일 \(\frac{4}{10} + \frac{6}{10} = \frac{10}{10} = 1\) (완성).

답: A가 혼자서 하면 10일이 걸린다.

✅ 예제 2: 세 사람이 함께 또는 부분적으로 일하는 경우

문제: 어떤 일을 A, B, C 세 사람이 함께 하면 4시간 만에 끝낼 수 있다. 이 일을 A와 B가 함께 하면 6시간이 걸리고, B와 C가 함께 하면 8시간이 걸린다고 한다. 이 일을 C가 혼자서 하면 몇 시간이 걸리겠는가?

풀이 과정:

• 전체 일의 양: 1
• 미지수 설정:
  • A가 한 시간에 하는 일의 양을 \(a\)
  • B가 한 시간에 하는 일의 양을 \(b\)
  • C가 한 시간에 하는 일의 양을 \(c\)
• 방정식 세우기:조건 1: A, B, C 함께 하면 4시간

  $$ (a + b + c) \times 4 = 1 \implies a + b + c = \frac{1}{4} \text{ — (식 ①)} $$

  조건 2: A와 B가 함께 하면 6시간

  $$ (a + b) \times 6 = 1 \implies a + b = \frac{1}{6} \text{ — (식 ②)} $$

  조건 3: B와 C가 함께 하면 8시간

  $$ (b + c) \times 8 = 1 \implies b + c = \frac{1}{8} \text{ — (식 ③)} $$

• 연립방정식 풀기:(식 ①)에서 (식 ②)를 빼면 \(c\)를 구할 수 있습니다:

  $$ (a + b + c) – (a + b) = \frac{1}{4} – \frac{1}{6} $$

  $$ c = \frac{3 – 2}{12} = \frac{1}{12} $$

• 답 구하기 및 확인:C가 한 시간에 하는 일의 양은 \(\frac{1}{12}\)입니다.따라서 C가 혼자서 이 일을 완성하는 데 걸리는 시간은 \(\frac{1}{c} = \frac{1}{(1/12)} = 12\)시간입니다.

  (필요하다면 \(a\)와 \(b\)도 구할 수 있습니다: \(b = \frac{1}{8} – c = \frac{1}{8} – \frac{1}{12} = \frac{3-2}{24} = \frac{1}{24}\). \(a = \frac{1}{6} – b = \frac{1}{6} – \frac{1}{24} = \frac{4-1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\).)

  확인: \(a+b+c = \frac{1}{8} + \frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \frac{3+1+2}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}\). 함께 4시간 일하면 \(4 \times \frac{1}{4} = 1\) (완성).

답: C가 혼자서 하면 12시간이 걸린다.