🔑 이차방정식의 정의
(1) \(x\)에 대한 이차방정식:
등식에서 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때, 식이
$$ (\text{\(x\)에 대한 이차식}) = 0 $$
의 꼴로 나타내어지는 방정식을 말합니다.
조금 더 구체적으로 표현하면, 미지수 \(x\)에 대한 이차방정식은 다음과 같은 일반적인 형태로 나타낼 수 있습니다:
$$ ax^2 + bx + c = 0 \quad (\text{단, } a, b, c \text{는 상수이고, } a \neq 0) $$
여기서 가장 중요한 조건은 \(x^2\)의 계수인 \(a\)가 0이 아니어야 한다는 것입니다. 만약 \(a=0\)이면 \(x^2\)항이 사라져 일차방정식이나 상수항만 남게 됩니다.
가장 중요한 핵심은 좌변으로 모두 이항했을 때, 이차항의 계수가 0이 아니여야 합니다.
🚫 이차방정식이 아닌 예
다음은 이차방정식이 아닌 대표적인 경우들입니다.
- \(x^2 – 4x + 7\)\(\rightarrow\) 등호(=)가 없는 그냥 이차식입니다. 방정식이 되려면 “\(=0\)”과 같이 등호와 우변이 있어야 합니다. 등식이 아니므로 이차방정식이 아닙니다.
- \(3x – 5 = 0\)\(\rightarrow\) 이항하여 정리해도 \(x^2\)항이 없습니다. 최고차항이 일차항이므로 일차방정식입니다. (이차항이 없으므로 이차방정식이 아닙니다.)
- \(\frac{1}{x^2} – \frac{1}{4} = 0\)\(\rightarrow\) 미지수 \(x\)가 분모에 있는 경우, 다항식이 아니므로 이차방정식이라고 하지 않습니다. (이는 분수방정식의 일종입니다.) 분모에 \(x^2\)이 있으므로 이차방정식이 아닙니다.
- \(2x^3 + x^2 – 5x + 1 = 0\)\(\rightarrow\) 최고차항이 \(x^3\)이므로 삼차방정식입니다. 최고차항이 이차항이 아니므로 이차방정식이 아닙니다.
- \((x+1)(x-2) = x^2 + 3x – 5\)\(\rightarrow\) 전개하여 정리해 보면, 좌변은 \(x^2 – x – 2\) 입니다. 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하면,
\( (x^2 – x – 2) – (x^2 + 3x – 5) = 0 \)
\( x^2 – x – 2 – x^2 – 3x + 5 = 0 \)
\( -4x + 3 = 0 \)
\(x^2\)항이 소거되어 사라지므로, 이는 일차방정식입니다. 정리했을 때 이차항이 사라지므로 이차방정식이 아닙니다.
💡 이차방정식인지 판단하는 방법
- 등식인지 확인: 주어진 식이 등호(=)를 포함하는지 확인합니다. 등호가 없으면 방정식이 아닙니다.
- 모든 항을 좌변으로 이항: 우변의 모든 항을 좌변으로 이항하여 “\((\text{좌변의 식}) = 0\)” 꼴로 만듭니다.
- 좌변 정리: 좌변의 동류항을 계산하여 간단히 정리합니다.
- 최고차항 확인: 정리된 좌변의 식에서 미지수 \(x\)에 대한 최고차항이 \(x^2\)항인지 확인합니다.
- 이차항의 계수 확인: \(x^2\)항이 존재하고, 그 계수가 0이 아닌지 확인합니다.
- 분모에 미지수 포함 여부 확인: 정리된 식의 분모에 미지수 \(x\)가 포함되어 있지 않은지 확인합니다.
- (중학교 과정에서는 분모에 미지수가 있는 경우는 다루지 않음)
위 조건들을 모두 만족하면 이차방정식입니다.
✅ 예제 1: 주어진 식이 이차방정식인지 판별하기
문제: 다음 중 \(x\)에 대한 이차방정식인 것을 모두 고르면?
ㄱ. \(x^2 – 5x = x^2\)
ㄴ. \(3(x-1)^2 = 0\)
ㄷ. \(x + \frac{1}{x} = 2\)
ㄹ. \( (x-2)(x+3) – 5 = x \)
풀이 과정:
ㄱ. \(x^2 – 5x = x^2\)
우변의 \(x^2\)을 좌변으로 이항하면: \(x^2 – 5x – x^2 = 0 \implies -5x = 0\)
\(x^2\)항이 사라지므로 일차방정식입니다. (이차방정식 아님)
ㄴ. \(3(x-1)^2 = 0\)
좌변을 전개하면: \(3(x^2 – 2x + 1) = 0 \implies 3x^2 – 6x + 3 = 0\)
\(x^2\)항이 있고 그 계수(3)가 0이 아니므로 이차방정식입니다.
ㄷ. \(x + \frac{1}{x} = 2\)
분모에 미지수 \(x\)가 있으므로 다항식 형태의 이차방정식이 아닙니다. (이차방정식 아님)
ㄹ. \( (x-2)(x+3) – 5 = x \)
좌변을 전개하고 우변을 이항하여 정리하면:
\( (x^2 + x – 6) – 5 – x = 0 \)
\( x^2 + x – 6 – 5 – x = 0 \)
\( x^2 – 11 = 0 \)
\(x^2\)항이 있고 그 계수(1)가 0이 아니므로 이차방정식입니다.
답: ㄴ, ㄹ
💡 마무리 정리:
- 이차방정식은 반드시 등호(=)를 포함하는 등식이어야 합니다.
- 주어진 식의 모든 항을 한쪽 변(보통 좌변)으로 이항하여 “\((x\text{에 대한 이차식}) = 0\)” 꼴로 정리했을 때,
- \(x^2\)항이 반드시 존재해야 하며, 그 계수가 0이 아니어야 합니다.
- 미지수 \(x\)가 분모에 있거나 루트 안에 있는 경우는 이차방정식으로 간주하지 않습니다 (중학교 과정 기준).
- 겉보기에는 이차항이 있는 것처럼 보여도, 식을 정리했을 때 이차항이 사라지면 이차방정식이 아닙니다.