📘 개념 이해: “이차방정식의 해(또는 근)”란?
미지수 \(x\)에 대한 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\) (단, \(a \neq 0\))에서, 이 등식을 참이 되게 하는 \(x\)의 값을 그 이차방정식의 해 또는 근이라고 합니다.
이차방정식의 해를 구하는 과정을 “이차방정식을 푼다”라고 말합니다.
어떤 값이 특정 이차방정식의 해인지 아닌지 확인하는 가장 기본적인 방법은 그 값을 이차방정식의 미지수 \(x\)에 대입하여 등식이 성립하는지(참이 되는지) 확인하는 것입니다.
🔑 해의 의미와 확인 방법
\(x=k\)가 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 해이다.
\(\implies\) \(x=k\)를 \(ax^2 + bx + c = 0\)에 대입하면 등식이 참이 된다.
$$ \implies a(\mathbf{k})^2 + b(\mathbf{k}) + c = 0 $$
예시 \(x^2 + 2x + 1 = 0\) 에서
- \(x=1\)일 때: \(1^2 + 2 \times 1 + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 \neq 0\).\(\implies x=1\)은 해가 아니다.
- \(x=-1\)일 때: \((-1)^2 + 2 \times (-1) + 1 = 1 – 2 + 1 = 0\).\(\implies x=-1\)은 해이다.
💡 해를 찾는 방법과 주의사항
주어진 값이 이차방정식의 해인지 확인하는 방법은 간단하지만, 이차방정식의 해를 직접 구하는 방법은 여러 가지가 있습니다 (인수분해, 제곱근 이용, 근의 공식 등). 이 유형에서는 주로 “주어진 값이 해인지 확인”하거나, “해가 주어졌을 때 미정계수 구하기” 등의 문제가 나옵니다.
해인지 확인하는 절차
- 주어진 이차방정식에 \(x\) 대신 주어진 값을 대입합니다.
- 좌변을 계산합니다.
- 계산한 좌변의 값이 우변(보통 0)과 같은지 확인합니다.
- 같으면 해이고, 다르면 해가 아닙니다.
기억하세요:
- 이차방정식은 해를 최대 2개 가질 수 있습니다 (실수 범위에서).
- 해가 1개인 경우를 중근이라고 합니다.
- 해가 없을 수도 있습니다 (실수 범위에서).
✅ 예제 1: 주어진 값이 이차방정식의 해인지 판별하기
문제: 다음 [ ] 안의 수가 주어진 이차방정식의 해인 것을 모두 고르시오.
ㄱ. \(x^2 – 5x + 6 = 0\) [ \(x=2\) ]
ㄴ. \(2x^2 + x – 1 = 0\) [ \(x=-1\) ]
ㄷ. \(x^2 = 4x\) [ \(x=0\) ]
ㄹ. \((x-3)^2 = 1\) [ \(x=2\) ]
풀이 과정:
ㄱ. \(x^2 – 5x + 6 = 0\) 에 \(x=2\) 대입:
$$ (2)^2 – 5(2) + 6 = 4 – 10 + 6 = 0 $$
좌변 = 우변(0)이므로, \(x=2\)는 해입니다.
ㄴ. \(2x^2 + x – 1 = 0\) 에 \(x=-1\) 대입:
$$ 2(-1)^2 + (-1) – 1 = 2(1) – 1 – 1 = 2 – 2 = 0 $$
좌변 = 우변(0)이므로, \(x=-1\)은 해입니다.
ㄷ. \(x^2 = 4x\) 에 \(x=0\) 대입:
좌변: \((0)^2 = 0\)
우변: \(4(0) = 0\)
좌변 = 우변이므로, \(x=0\)은 해입니다.
ㄹ. \((x-3)^2 = 1\) 에 \(x=2\) 대입:
좌변: \((2-3)^2 = (-1)^2 = 1\)
우변: \(1\)
좌변 = 우변이므로, \(x=2\)는 해입니다.
답: ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ 모두 해이다.
✅ 예제 2: 해가 주어졌을 때 미정계수 구하기
문제: 이차방정식 \(x^2 + ax – 6 = 0\)의 한 해가 \(x=3\)일 때, 상수 \(a\)의 값을 구하시오.
풀이 과정:
\(x=3\)이 이차방정식의 해이므로, \(x=3\)을 방정식에 대입하면 등식이 성립해야 합니다.
$$ (3)^2 + a(3) – 6 = 0 $$
$$ 9 + 3a – 6 = 0 $$
$$ 3a + 3 = 0 $$
$$ 3a = -3 $$
$$ a = -1 $$
확인: \(a=-1\)을 대입하면 방정식은 \(x^2 – x – 6 = 0\). 여기에 \(x=3\)을 대입하면 \(3^2 – 3 – 6 = 9 – 3 – 6 = 0\). 등식이 성립합니다.
답: \(a = -1\)
💡 마무리 정리:
- 이차방정식의 해(또는 근)는 그 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값입니다.
- 어떤 값이 해인지 확인하는 가장 기본적인 방법은 그 값을 방정식에 대입하여 등식이 성립하는지 보는 것입니다.
- 방정식에 미정계수가 포함되어 있고 한 해가 주어진 경우, 그 해를 방정식에 대입하여 미정계수에 대한 방정식을 만들어 풀 수 있습니다.
- 모든 항을 좌변으로 이항하여 \((\text{이차식}) = 0\) 꼴로 정리한 후 대입하는 것이 실수를 줄이는 방법입니다.