이차방정식이 될 조건-이차항의 계수가 0이 아니다 – 중3수학 개념 문제 풀이 인강

📘 개념 이해: “이차방정식이 될 조건”이란?

어떤 등식이 미지수 \(x\)에 대한 이차방정식이 되기 위해서는 특정한 조건을 만족해야 합니다.

가장 중요한 조건은 해당 등식을 “\((x\text{에 대한 이차식}) = 0\)” 꼴로 정리했을 때, \(x^2\)항이 반드시 존재하고 그 계수가 0이 아니어야 한다는 것입니다.

문제에서는 보통 미정계수(상수 \(a, k\) 등)를 포함하는 등식을 주고, 이 등식이 \(x\)에 대한 이차방정식이 되기 위한 미정계수의 조건을 묻습니다.

💡 문제 풀이 전략

주어진 등식이 이차방정식이 되기 위한 미정계수의 조건을 찾는 방법은 다음과 같습니다.

1. 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리:주어진 등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 “\((\text{다항식}) = 0\)” 꼴로 만듭니다.
2. 동류항 계산 및 내림차순 정리:좌변의 다항식을 미지수 \(x\)에 대하여 내림차순으로 정리합니다. 즉, \(Ax^2 + Bx + C = 0\) 형태로 만듭니다. 여기서 \(A, B, C\)는 상수 또는 미정계수를 포함한 식이 될 수 있습니다.
3. 이차항의 계수(\(A\))가 0이 되지 않을 조건 찾기:정리된 식에서 \(x^2\)항의 계수 \(A\)가 0이 되지 않도록 하는 미정계수의 조건을 구합니다. 즉, \(A \neq 0\) 이라는 부등식을 세우고 이를 만족하는 미정계수의 값을 찾습니다.
4. (필요시) 일차항과 상수항 조건 확인:문제에 따라 일차항의 계수(\(B\))나 상수항(\(C\))에 대한 조건이 추가로 주어질 수도 있지만, 이차방정식이 “되기 위한” 조건에서는 이차항의 계수가 0이 아니라는 것이 가장 핵심입니다.

간단히 말해, 주어진 식을 \(Ax^2 + Bx + C = 0\) 꼴로 정리한 후, \(A \neq 0\) 조건을 푸는 것입니다.

✅ 예제 1: 미정계수를 포함한 등식이 이차방정식이 될 조건

문제: \(x\)에 대한 등식 \( (k-2)x^2 + 5x – 7 = 2x^2 + kx \)가 이차방정식이 되기 위한 상수 \(k\)의 조건을 구하시오.

풀이 과정:

1. 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리:

$$ (k-2)x^2 + 5x – 7 – 2x^2 – kx = 0 $$

2. 동류항 계산 및 내림차순 정리:

\(x^2\)항: \((k-2-2)x^2 = (k-4)x^2\)

\(x\)항: \((5-k)x\)

상수항: \(-7\)

정리된 식:

$$ (k-4)x^2 + (5-k)x – 7 = 0 $$

3. 이차항의 계수가 0이 되지 않을 조건 찾기:

이 등식이 \(x\)에 대한 이차방정식이 되려면 \(x^2\)의 계수인 \((k-4)\)가 0이 아니어야 합니다.

$$ k-4 \neq 0 $$

$$ k \neq 4 $$

답: \(k \neq 4\)

✅ 예제 2: 양변에 이차항이 있는 경우

문제: \(x\)에 대한 등식 \(ax^2 – 3x + 1 = (x-2)(2x+1)\)이 이차방정식이 되도록 하는 상수 \(a\)의 조건을 구하시오.

풀이 과정:

1. 우변을 전개하고 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리:

우변 전개: \((x-2)(2x+1) = 2x^2 + x – 4x – 2 = 2x^2 – 3x – 2\)

주어진 등식: \(ax^2 – 3x + 1 = 2x^2 – 3x – 2\)

모든 항을 좌변으로 이항:

$$ ax^2 – 3x + 1 – 2x^2 + 3x + 2 = 0 $$

2. 동류항 계산 및 내림차순 정리:

\(x^2\)항: \((a-2)x^2\)

\(x\)항: \((-3+3)x = 0x\)

상수항: \(1+2 = 3\)

정리된 식:

$$ (a-2)x^2 + 3 = 0 $$

3. 이차항의 계수가 0이 되지 않을 조건 찾기:

이 등식이 \(x\)에 대한 이차방정식이 되려면 \(x^2\)의 계수인 \((a-2)\)가 0이 아니어야 합니다.

$$ a-2 \neq 0 $$

$$ a \neq 2 $$

답: \(a \neq 2\)