📘 개념 복습 및 심화: 가격 결정 요소
원가, 정가 문제는 상품의 가격이 어떻게 결정되고, 그 과정에서 이익이나 손해가 어떻게 발생하는지를 다룹니다. 기본적인 용어 이해가 중요합니다.
- 원가:상품을 만드는 데 드는 원래 비용.
- 이익:판매자가 원가에 덧붙이는 금액.
- 정가:원가에 이익을 더하여 정한 판매 희망 가격. (정가) = (원가) + (이익)
- 할인:정가에서 일정 금액이나 비율만큼 깎아주는 것.
- 판매 가격:실제로 판매되는 가격. 정가에서 할인이 이루어질 수 있습니다.
- 최종 이익 (또는 손해): (최종 이익) = (실제 판매 가격) – (원가). 이 값이 음수면 손해입니다.
발전 유형에서는 여러 상품을 다루거나, 판매 개수와 총 이익을 함께 고려하는 등 복합적인 상황이 제시될 수 있습니다.
💡 핵심 공식 및 표현
가격 관련 계산 시 다음 공식들을 활용합니다.
가격 계산 공식(1) (정가) = (원가) + (이익)
이때, 이익은 보통 “원가의 \(a\%\)”와 같이 주어집니다. 즉, (이익) = (원가) \(\times \frac{a}{100}\).
따라서, 원가가 \(w\)원일 때 \(a\%\)의 이익을 붙인 정가는:
$$ \text{정가} = w + w \times \frac{a}{100} = w\left(1 + \frac{a}{100}\right) $$
(2) \(A\)원에서 \(x\%\) 할인한 가격:
할인액은 \(A \times \frac{x}{100}\) 원입니다.
따라서 할인 후 가격은 (원래 가격) – (할인액) 입니다.
$$ \text{할인 후 가격} = A – A \times \frac{x}{100} = A\left(1 – \frac{x}{100}\right) \text{ (원)} $$
(이미지에서 빈칸 ①에 들어갈 것은 \(x\) 입니다. 여기서 \(A\)는 할인가격의 기준이 되는 금액(주로 정가)입니다.)
이익률이나 할인율은 무엇을 기준으로 하는지 명확히 파악해야 합니다.
- “원가의 \(a\%\) 이익”: 이익금 = (원가) \(\times \frac{a}{100}\)
- “정가의 \(x\%\) 할인”: 할인액 = (정가) \(\times \frac{x}{100}\)
여러 상품을 다룰 때는 각 상품별로 원가, 정가, 판매 가격, 이익을 계산하고, 이를 합산하여 전체적인 관계를 파악합니다.
💡 문제 풀이 단계 (원가, 정가 발전 문제)
- 문제 분석 및 정보 정리: 관련된 상품의 종류, 각 상품의 원가, 이익률, 할인율, 판매 개수, 총 이익 등의 정보를 정리합니다.
- 미지수 설정: 문제에서 구하고자 하는 값(예: 특정 상품의 원가, 판매 개수 등)을 미지수 \(x\) (또는 \(x, y\))로 설정합니다.
- 각 상품의 정가, 판매 가격, 개당 이익 계산:
- 미지수와 주어진 정보를 이용하여 각 상품의 정가, 할인 적용 시 판매 가격, 그리고 한 개당 이익(\((\text{판매 가격}) – (\text{원가})\))을 식으로 표현합니다.
- 방정식 세우기:
- 문제에서 주어진 총 판매 개수 또는 총 이익에 대한 정보를 이용하여 방정식을 세웁니다.
- (총 이익) = (A상품 총 이익) + (B상품 총 이익)
\(\qquad = (\text{A상품 개당 이익} \times \text{A 판매 개수}) + (\text{B상품 개당 이익} \times \text{B 판매 개수})\)
- 미지수가 2개인 경우 연립방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 미지수의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인: 구한 값이 문제의 조건(예: 개수는 자연수, 가격은 양수)에 맞는지 확인하고, 최종 답을 작성합니다. 검산 과정을 통해 확인합니다.
✅ 예제 1: 두 상품의 판매 개수와 총 이익 (수정된 예제)
문제: 원가가 각각 500원, 800원인 두 종류의 펜 A, B가 있다. 펜 A는 원가의 40% 이익을 붙여 팔고, 펜 B는 원가의 20% 이익을 붙여 팔았다. 두 종류의 펜을 합하여 총 30자루를 팔아서 5,400원의 총 이익을 얻었다면, 펜 A는 몇 자루 팔았는가?
풀이 과정:
- 미지수 설정:
- 판매한 펜 A의 개수를 \(x\)자루라고 합니다.
- 총 30자루를 팔았으므로, 판매한 펜 B의 개수는 \((30 – x)\)자루입니다.
- 각 펜의 개당 이익 계산:
- 펜 A의 원가: 500원, 이익률 40%
펜 A 한 자루당 이익금: \(500 \times \frac{40}{100} = 200\)원
- 펜 B의 원가: 800원, 이익률 20%
펜 B 한 자루당 이익금: \(800 \times \frac{20}{100} = 160\)원
- 펜 A의 원가: 500원, 이익률 40%
- 방정식 세우기 (총 이익 기준):(A펜 총 이익) + (B펜 총 이익) = (전체 총 이익)
$$ (200 \times x) + (160 \times (30 – x)) = 5400 $$
- 방정식 풀기:
$$ 200x + 4800 – 160x = 5400 $$
$$ 40x = 5400 – 4800 $$
$$ 40x = 600 $$
$$ x = \frac{600}{40} = 15 $$
- 답 구하기 및 확인:펜 A는 \(x=15\)자루 팔았습니다.
펜 B는 \(30 – 15 = 15\)자루 팔았습니다.
확인:
- A펜 총 이익: \(200 \times 15 = 3000\)원
- B펜 총 이익: \(160 \times 15 = 2400\)원
- 전체 총 이익: \(3000 + 2400 = 5400\)원. (문제 조건과 일치)
답: 펜 A는 15자루 팔았다.
✅ 예제 2: 정가에서 할인 후 이익 계산
문제: 어떤 상품의 원가에 50%의 이익을 붙여 정가를 정하였다. 이 정가에서 20%를 할인하여 판매하였더니 한 개당 400원의 이익이 발생하였다. 이 상품의 원가는 얼마인가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 상품의 원가를 \(x\)원이라고 합니다.
- 정가 표현: 원가 \(x\)원에 50% 이익을 붙임
$$ \text{정가} = x\left(1 + \frac{50}{100}\right) = x(1.5) = 1.5x \text{ 원} $$
- 판매 가격 표현: 정가(\(1.5x\))에서 20% 할인
$$ \text{판매 가격} = (1.5x)\left(1 – \frac{20}{100}\right) = (1.5x)(0.8) = 1.2x \text{ 원} $$
- 이익 표현: 한 개당 이익이 400원
$$ \text{이익} = (\text{판매 가격}) – (\text{원가}) $$
- 방정식 세우기:
$$ 1.2x – x = 400 $$
- 방정식 풀기:
$$ 0.2x = 400 $$
$$ x = \frac{400}{0.2} = \frac{4000}{2} = 2000 $$
- 답 구하기 및 확인:상품의 원가 \(x\)는 2,000원입니다.
확인:
- 정가: \(2000 \times 1.5 = 3000\)원
- 판매 가격: \(3000 \times 0.8 = 2400\)원
- 이익: \(2400 – 2000 = 400\)원. (문제 조건과 일치)
답: 상품의 원가는 2,000원이다.
💡 마무리 정리:
- 원가, 정가 문제는 각 용어의 의미와 관계를 명확히 이해하는 것이 풀이의 시작입니다.
- 무엇을 기준으로 이익률이나 할인율이 적용되는지 (원가 기준 이익, 정가 기준 할인 등) 정확히 파악해야 합니다.
- 복수 상품의 경우, 각 상품별로 이익을 계산한 후 합산하여 총 이익과 비교하는 방정식을 세웁니다.
- (최종 이익) = (실제 판매 가격) – (원가)라는 기본 관계를 잊지 않아야 합니다.
- 퍼센트 계산 시 \(\frac{\text{값}}{100}\)을 곱하거나, \( (1 \pm \frac{\text{비율}}{100}) \) 형태를 적절히 활용합니다.