📘 개념 이해: “속력이 다르게 왕복하는 경우”란?
“속력이 다르게 왕복하는 경우”의 거리, 속력, 시간 문제는 어떤 지점을 출발하여 목적지까지 갔다가 다시 출발 지점으로 돌아오는 왕복 운동에서, 갈 때의 속력과 올 때의 속력이 다른 상황을 다룹니다. 이때 갈 때의 경로와 올 때의 경로가 같을 수도 있고, 다를 수도 있습니다. (이미지의 대표 문제는 다른 길로 오는 경우를 포함합니다.)
이 유형의 핵심은 갈 때의 상황(거리, 속력, 시간)과 올 때의 상황(거리, 속력, 시간)을 각각 분석하고, 문제에서 주어진 총 이동 거리 또는 총 걸린 시간에 대한 정보를 이용하여 방정식을 세우는 것입니다.
⚡️ 거리, 속력, 시간의 기본 관계식 (복습):
모든 거리, 속력, 시간 문제의 기초는 변하지 않습니다.
| 구하는 것 | 공식 |
|---|---|
| 거리 | \(\text{속력} \times \text{시간}\) |
| 속력 | \(\frac{\text{거리}}{\text{시간}}\) |
| 시간 | \(\frac{\text{거리}}{\text{속력}}\) |
💡 왕복 문제의 방정식 세우기
속력이 다르게 왕복하는 문제에서는 주로 다음 두 가지 정보를 이용하여 방정식을 세웁니다.
방정식 세우기의 핵심 원리1. 총 이동 거리를 이용하는 경우:
$$ (\text{갈 때의 거리}) + (\text{올 때의 거리}) = (\text{총 이동 거리}) $$
2. 총 걸린 시간을 이용하는 경우:
$$ (\text{갈 때 걸린 시간}) + (\text{올 때 걸린 시간}) = (\text{총 걸린 시간}) $$
제공해주신 이미지의 내용이 바로 이 두 가지 핵심 원리를 나타내고 있습니다.
- 만약 갈 때의 거리와 올 때의 거리가 같다면 (같은 길 왕복), 갈 때의 거리를 \(x\)로 놓으면 올 때의 거리도 \(x\)가 됩니다. 그러면 총 이동 거리는 \(2x\)가 됩니다.
- 갈 때의 거리와 올 때의 거리가 다를 경우 (다른 길 왕복), 한쪽 거리를 \(x\)로 놓고, 다른 쪽 거리는 (총 이동 거리 – \(x\))로 표현하거나, 각각 다른 미지수로 놓고 연립방정식을 세울 수 있습니다.
- 각각의 “걸린 시간”은 \(\text{시간} = \frac{\text{거리}}{\text{속력}}\) 공식을 사용하여 \(x\)에 대한 식으로 표현합니다.
단위 통일(시, 분 / km, m / 시속, 분속 등)은 항상 중요합니다!
💡 문제 풀이 단계 (속력이 다른 왕복 문제)
- 문제 분석 및 정보 정리:
- 갈 때와 올 때의 속력을 각각 확인합니다.
- 갈 때의 경로와 올 때의 경로가 같은지 다른지 파악합니다.
- 총 이동 거리 또는 총 걸린 시간에 대한 정보가 주어졌는지 확인합니다.
- 목적지에서 머문 시간이 있다면, 그 시간은 총 걸린 시간 계산 시 고려해야 합니다. (이미지의 대표 문제는 “머문 시간은 무시한다”고 명시)
- 미지수 설정:
- 일반적으로 갈 때의 거리 또는 올 때의 거리 중 하나를 미지수 \(x\)로 설정합니다. (만약 같은 길 왕복이면 편도 거리를 \(x\)로)
- 또는 문제에서 구하라고 하는 값을 미지수로 설정할 수도 있습니다.
- 갈 때와 올 때의 거리 및 시간 표현:
- 미지수 \(x\)와 주어진 정보를 이용하여 갈 때와 올 때 각각의 거리와 시간을 식으로 나타냅니다.
- 시간은 \(\frac{\text{거리}}{\text{속력}}\)을 이용합니다.
- 방정식 세우기:
- 주어진 정보에 따라 위의 “총 이동 거리” 또는 “총 걸린 시간”에 대한 원리를 이용하여 방정식을 세웁니다.
- 만약 총 이동 거리와 총 걸린 시간이 모두 주어지고, 갈 때의 거리와 올 때의 거리가 미지수 2개로 표현된다면 연립방정식을 세울 수 있습니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 미지수 \(x\)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 \(x\) 값이 거리로서 타당한지 (예: 양수인지) 확인합니다.
- \(x\) 값을 바탕으로 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다. (예: 편도 거리, 왕복 거리, 걸린 시간 등)
- 구한 값들을 이용하여 실제 총 이동 거리나 총 걸린 시간을 계산해보고 문제의 조건과 일치하는지 검산합니다.
✅ 예제 1: 같은 길을 다른 속력으로 왕복 (총 시간 이용)
문제: 집에서 도서관까지 왕복하는데, 갈 때는 시속 6km로 자전거를 타고 갔고, 올 때는 같은 길을 시속 4km로 걸어왔더니 총 2시간 30분이 걸렸다. 집에서 도서관까지의 거리는 몇 km인가?
풀이 과정:
- 단위 통일: 총 걸린 시간 2시간 30분 = \(2 + \frac{30}{60}\) 시간 = \(2.5\) 시간 (또는 \(\frac{5}{2}\) 시간)
- 미지수 설정: 집에서 도서관까지의 거리를 \(x\) km라고 합니다. (갈 때와 올 때 거리가 같음)
- 각 경로의 시간 표현:
- 갈 때 걸린 시간: \(\frac{\text{거리}}{\text{속력}} = \frac{x}{6}\) 시간
- 올 때 걸린 시간: \(\frac{\text{거리}}{\text{속력}} = \frac{x}{4}\) 시간
- 방정식 세우기 (총 걸린 시간 이용): (갈 때 시간) + (올 때 시간) = (총 시간)
$$ \frac{x}{6} + \frac{x}{4} = 2.5 $$
(또는 \(\frac{x}{6} + \frac{x}{4} = \frac{5}{2}\) 로 세워도 됩니다.)
- 방정식 풀기: (양변에 분모의 최소공배수인 12를 곱한다)
$$ 12 \cdot \frac{x}{6} + 12 \cdot \frac{x}{4} = 12 \cdot 2.5 $$
$$ 2x + 3x = 30 $$
$$ 5x = 30 $$
$$ x = 6 $$
- 답 구하기 및 확인:집에서 도서관까지의 거리 \(x\)는 6km입니다.
확인:
- 갈 때 걸린 시간: \(\frac{6}{6} = 1\)시간
- 올 때 걸린 시간: \(\frac{6}{4} = 1.5\)시간
- 총 걸린 시간: \(1 + 1.5 = 2.5\)시간. (문제 조건과 일치)
답: 집에서 도서관까지의 거리는 6 km이다.
✅ 예제 2: 다른 길을 다른 속력으로 왕복 (총 이동 거리와 총 시간 동시 활용)
문제: 현수가 등산을 하는데 올라갈 때는 A코스를 따라 시속 3km로, 내려올 때는 A코스보다 2km 더 짧은 B코스를 따라 시속 5km로 이동하였다. 등산하는 데 총 6시간이 걸렸다면, 현수가 올라간 A코스의 거리는 몇 km인가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 올라간 A코스의 거리를 \(x\) km라고 합니다.
- 각 경로의 거리 및 시간 표현:
- 올라갈 때 (A코스): 거리 = \(x\) km, 속력 = 시속 3km \(\implies\) 걸린 시간 = \(\frac{x}{3}\) 시간
- 내려올 때 (B코스): 거리 = \((x-2)\) km (A코스보다 2km 짧음), 속력 = 시속 5km \(\implies\) 걸린 시간 = \(\frac{x-2}{5}\) 시간
- (조건: \(x-2 > 0 \implies x > 2\))
- 방정식 세우기 (총 걸린 시간 이용): (올라갈 때 시간) + (내려올 때 시간) = (총 시간)
$$ \frac{x}{3} + \frac{x-2}{5} = 6 $$
- 방정식 풀기: (양변에 분모의 최소공배수인 15를 곱한다)
$$ 15 \cdot \frac{x}{3} + 15 \cdot \frac{x-2}{5} = 15 \cdot 6 $$
$$ 5x + 3(x-2) = 90 $$
$$ 5x + 3x – 6 = 90 $$
$$ 8x = 90 + 6 $$
$$ 8x = 96 $$
$$ x = 12 $$
- 답 구하기 및 확인:A코스의 거리 \(x\)는 12km입니다. ( \(x=12 > 2\) 조건 만족)
확인:
- 올라갈 때 (A코스): 거리 12km, 시간 \(\frac{12}{3} = 4\)시간
- 내려올 때 (B코스): 거리 \(12-2=10\)km, 시간 \(\frac{10}{5} = 2\)시간
- 총 걸린 시간: \(4 + 2 = 6\)시간. (문제 조건과 일치)
답: 현수가 올라간 A코스의 거리는 12 km이다.
💡 마무리 정리:
- 속력이 다르게 왕복하는 문제는 갈 때와 올 때의 상황을 분리하여 각 경우의 거리, 속력, 시간을 명확히 하는 것이 중요합니다.
- 총 이동 거리에 대한 정보가 주어지면 \(\text{거리}_1 + \text{거리}_2 = \text{총 거리}\)를, 총 걸린 시간에 대한 정보가 주어지면 \(\text{시간}_1 + \text{시간}_2 = \text{총 시간}\)을 이용하여 방정식을 세웁니다.
- 단위 통일은 항상 주의해야 할 기본 사항입니다. 특히 시간 단위를 ‘시’로 할지 ‘분’으로 할지 일관되게 결정해야 합니다. (예: 시속이면 시간, 분속이면 분)
- 문제에서 “같은 길”인지 “다른 길”인지에 따라 거리 설정이 달라지므로 꼼꼼히 읽어야 합니다.