📘 개념 이해: “연속하는 수”란?
“연속하는 수에 대한 문제”는 차례대로 이어지는 수들의 관계를 이용하여 방정식을 세우고 해결하는 유형입니다.
예를 들어, “연속하는 세 자연수”, “연속하는 세 짝수” 등이 문제에 등장합니다.
이 유형의 핵심은 연속하는 수들을 미지수 \(x\)를 사용하여 어떻게 표현하는가입니다.
주어진 조건 (자연수, 정수, 홀수, 짝수 등)에 따라 수들이 얼마만큼씩 차이 나는지를 파악하는 것이 중요합니다.
🔑 핵심 아이디어:
- 연속하는 수들 중 하나를 \(x\)로 설정한다 (보통 가장 작은 수, 또는 중간 수).
- 나머지 연속하는 수들을 \(x\)에 대한 식으로 표현한다.
- 문제의 조건을 이용하여 방정식을 세우고 \(x\) 값을 구한다.
- 구한 \(x\) 값을 바탕으로 문제에서 요구하는 모든 수를 찾거나 답을 구한다.
💡 연속하는 수 표현 방법
문제에서 “연속하는 세 수”라고 주어졌을 때, 이 수들을 미지수로 어떻게 설정하는지가 풀이의 첫걸음입니다. 일반적으로 두 가지 방법이 많이 사용됩니다.
(1) 연속하는 세 자연수 (또는 정수)
방법 1: 중간 수를 \(x\)로 놓는 경우세 수를 \(x-1, x, x+1\) 로 표현합니다. (이때 \(x\)는 두 번째 수)
- 장점: 세 수의 합을 구할 때 \( (x-1) + x + (x+1) = 3x \) 로 식이 간단해지는 경우가 많습니다.
- 예: 연속하는 세 자연수가 5, 6, 7 이라면 \(x=6\)이고, \(6-1=5, 6, 6+1=7\)이 됩니다.
방법 2: 가장 작은 수를 \(x\)로 놓는 경우
세 수를 \(x, x+1, x+2\) 로 표현합니다. (이때 \(x\)는 가장 작은 수)
- 장점: 문제에서 “가장 작은 수”를 묻는 경우 \(x\)를 바로 답으로 쓸 수 있습니다.
- 예: 연속하는 세 자연수가 5, 6, 7 이라면 \(x=5\)이고, \(5, 5+1=6, 5+2=7\)이 됩니다.
이미지에 있는 빈칸 ①은 \(x+1\) 입니다.
따라서, 연속하는 세 자연(정수)는
$$ x-1, \quad x, \quad \mathbf{x+1} $$
또는
$$ x, \quad x+1, \quad x+2 $$
로 표현할 수 있습니다. 어떤 방법을 선택하든 문제 풀이에는 지장이 없지만, 계산의 편리성을 고려하여 선택할 수 있습니다.
(2) 연속하는 세 짝수 (또는 홀수)
짝수나 홀수는 연속할 때 2씩 차이가 납니다. (예: 2, 4, 6 또는 3, 5, 7)
방법 1: 중간 수를 \(x\)로 놓는 경우 (단, \(x\)는 짝수/홀수)세 수를 \(x-2, x, x+2\) 로 표현합니다.
- 장점: 세 수의 합이 \( (x-2) + x + (x+2) = 3x \) 로 간단해집니다.
- 예: 연속하는 세 짝수가 4, 6, 8 이라면 \(x=6\)이고, \(6-2=4, 6, 6+2=8\)이 됩니다.
방법 2: 가장 작은 수를 \(x\)로 놓는 경우 (단, \(x\)는 짝수/홀수)
세 수를 \(x, x+2, x+4\) 로 표현합니다.
- 장점: 문제에서 “가장 작은 수”를 묻는 경우 \(x\)를 바로 답으로 쓸 수 있습니다.
- 예: 연속하는 세 짝수가 4, 6, 8 이라면 \(x=4\)이고, \(4, 4+2=6, 4+4=8\)이 됩니다.
이미지에 있는 빈칸 ②는 \(x+2\) 입니다.
따라서, 연속하는 세 짝수(홀수)는
$$ x-2, \quad x, \quad x+2 $$
또는
$$ x, \quad \mathbf{x+2}, \quad x+4 $$
로 표현할 수 있습니다. (단, \(x\)는 해당 조건의 짝수 또는 홀수여야 합니다.)
💡 문제 풀이 단계
- 미지수 설정: 문제의 조건에 맞게 연속하는 수들을 \(x\)를 사용하여 표현합니다. (가장 작은 수, 중간 수 등 기준을 정함)
- 방정식 세우기: 문제에서 주어진 조건 (예: 수들의 합, 곱, 차 등)을 이용하여 \(x\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 \(x\)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 \(x\) 값을 바탕으로 문제에서 요구하는 모든 연속하는 수를 찾습니다.
- 찾은 수들이 문제의 조건을 만족하는지 (예: 실제로 연속하는지, 짝수/홀수 조건에 맞는지, 합이 일치하는지 등) 검산합니다.
- 최종적으로 문제에서 요구하는 답을 작성합니다. (예: 가장 큰 수, 세 수 모두 등)
✅ 예제 1: 연속하는 세 자연수
문제: 연속하는 세 자연수의 합이 42일 때, 이 세 자연수를 구하시오.
풀이 과정 (중간 수를 \(x\)로 설정):
- 미지수 설정: 연속하는 세 자연수를 \(x-1, x, x+1\)로 놓습니다.
- 방정식 세우기: (세 자연수의 합) = 42
$$ (x-1) + x + (x+1) = 42 $$
- 방정식 풀기:
$$ 3x = 42 $$
$$ x = \frac{42}{3} $$
$$ x = 14 $$
- 답 구하기 및 확인:중간 수 \(x\)가 14이므로, 세 자연수는 \(x-1 = 13\), \(x = 14\), \(x+1 = 15\) 입니다.확인: \(13+14+15 = 42\). 문제 조건과 일치합니다.
답: 세 자연수는 13, 14, 15이다.
✅ 예제 2: 연속하는 세 짝수
문제: 연속하는 세 짝수의 합이 72이다. 이 중 가장 큰 짝수는 무엇인가?
풀이 과정 (가장 작은 짝수를 \(x\)로 설정):
- 미지수 설정: 가장 작은 짝수를 \(x\)라고 하면, 연속하는 세 짝수는 \(x, x+2, x+4\)입니다.
- 방정식 세우기: (세 짝수의 합) = 72
$$ x + (x+2) + (x+4) = 72 $$
- 방정식 풀기:
$$ 3x + 6 = 72 $$
$$ 3x = 72 – 6 $$
$$ 3x = 66 $$
$$ x = \frac{66}{3} $$
$$ x = 22 $$
- 답 구하기 및 확인:가장 작은 짝수 \(x\)가 22이므로, 세 짝수는 22, 24, 26입니다.확인: \(22+24+26 = 72\). 문제 조건과 일치합니다.문제에서 가장 큰 짝수를 물었으므로, 가장 큰 짝수는 \(x+4 = 22+4 = 26\)입니다.
답: 가장 큰 짝수는 26이다.
✅ 예제 3: 연속하는 세 홀수와 추가 조건
문제: 연속하는 세 홀수가 있다. 가장 큰 홀수의 3배는 나머지 두 홀수의 합보다 25만큼 크다고 한다. 이때 세 홀수를 모두 구하시오.
풀이 과정 (중간 홀수를 \(x\)로 설정):
- 미지수 설정: 연속하는 세 홀수를 \(x-2, x, x+2\)로 놓습니다. (단, \(x\)는 홀수)
- 문장을 식으로 변환:
- 가장 큰 홀수: \(x+2\)
- 가장 큰 홀수의 3배: \(3(x+2)\)
- 나머지 두 홀수: \(x-2, x\)
- 나머지 두 홀수의 합: \((x-2) + x = 2x-2\)
- 방정식 세우기: “가장 큰 홀수의 3배”는 “나머지 두 홀수의 합보다 25만큼 크다”
$$ 3(x+2) = (2x-2) + 25 $$
- 방정식 풀기:
$$ 3x + 6 = 2x + 23 $$
$$ 3x – 2x = 23 – 6 $$
$$ x = 17 $$
- 답 구하기 및 확인:중간 홀수 \(x\)가 17이므로 (17은 홀수이므로 조건 만족), 세 홀수는 \(x-2 = 15\), \(x = 17\), \(x+2 = 19\) 입니다.확인:
- 가장 큰 홀수의 3배: \(3 \times 19 = 57\)
- 나머지 두 홀수의 합: \(15 + 17 = 32\)
- \(57\)은 \(32\)보다 \(57-32 = 25\)만큼 큽니다. 문제 조건과 일치합니다.
답: 세 홀수는 15, 17, 19이다.
💡 마무리 정리:
- 연속하는 수들을 미지수로 표현하는 방법은 문제의 종류(자연수, 짝수, 홀수)와 개인의 선호에 따라 선택할 수 있습니다.
- 식을 세울 때, 어떤 수를 기준으로 미지수를 설정했는지 명확히 하고, 그 기준에 맞게 다른 수들을 표현해야 합니다.
- 방정식을 풀어 \(x\)값을 구한 후, 반드시 문제에서 최종적으로 무엇을 묻는지 다시 한번 확인하고 답을 작성하세요. (예: 가장 작은 수, 모든 수, 수들의 곱 등)
- 검산 과정은 실수를 줄이는 데 매우 중요합니다.