📘 개념 이해: “연립일차부등식”이란?
“연립일차부등식”은 두 개 이상의 일차부등식을 한 쌍으로 묶어 놓은 것을 말합니다.
연립일차부등식의 해는 주어진 모든 부등식을 동시에 만족시키는 미지수의 값의 범위입니다.
각각의 일차부등식은 독립적으로 풀 수 있으며, 그 해들을 종합하여 공통된 범위를 찾는 것이 연립일차부등식 풀이의 핵심입니다.
🔑 연립일차부등식 풀이의 3단계
- (i) 각 일차부등식의 해를 구한다.각 부등식을 일차방정식을 풀 때와 유사한 방법으로 풀어서 \(x > a\), \(x \le b\) 등과 같은 형태로 해를 구합니다.
(단, 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나눌 때는 부등호의 방향이 바뀐다는 점에 주의합니다.) - (ii) (i)의 해를 수직선 위에 나타낸다.각 부등식의 해를 수직선 위에 화살표나 영역으로 표시합니다. 등호 포함 여부에 따라 점을 채우거나 비워둡니다. (예: \(x \ge a\)는 \(a\)에 채워진 점, \(x > a\)는 \(a\)에 비워진 점)
- (iii) 공통부분을 찾아 연립부등식의 해를 구한다.수직선 위에서 각 부등식의 해들이 겹치는 부분(공통부분)을 찾습니다. 이 공통부분이 바로 연립일차부등식의 해가 됩니다.
💡 연립일차부등식의 해의 형태
연립일차부등식의 해는 각 부등식의 해의 관계에 따라 다양한 형태로 나타날 수 있습니다.
- \(a < x < b\) 또는 \(a \le x \le b\) 등: 두 해 사이에 공통 범위가 존재하는 경우.
- \(x = a\): 두 해의 경계가 일치하고 방향이 반대이면서 등호를 포함하는 경우 (예: \(x \ge a\) 와 \(x \le a\)).
- 해가 없는 경우: 두 해의 공통부분이 존재하지 않는 경우.
수직선을 이용하면 이러한 해의 형태를 시각적으로 명확하게 파악할 수 있습니다.
예시: \(x > 1\) 과 \(x \le 4\) 의 공통범위는 \(1 < x \le 4\)
💡 문제 풀이 단계 (연립일차부등식)
- 각각의 일차부등식 풀기:연립부등식을 이루는 각각의 일차부등식을 개별적으로 풉니다. 이항, 양변에 같은 수 더하기/빼기/곱하기/나누기 등의 성질을 이용합니다. 음수를 곱하거나 나눌 때는 부등호 방향이 바뀌는 것에 반드시 주의합니다.
- 수직선 위에 해 나타내기:1단계에서 구한 각 부등식의 해를 하나의 수직선 위에 정확하게 나타냅니다. 범위의 시작점에 등호가 포함되면 채워진 점(●), 포함되지 않으면 비워진 점(○)으로 표시하고, 해의 방향을 화살표로 표시합니다.
- 공통범위 찾기:수직선 위에서 모든 부등식의 해가 동시에 만족되는 겹치는 부분(공통범위)을 찾습니다. 이 공통범위가 연립부등식의 최종 해입니다.
- 해 표현하기: 찾은 공통범위를 부등식을 사용하여 나타냅니다. 해가 없는 경우 “해가 없다”라고 답합니다.
✅ 예제 1: 기본적인 연립일차부등식
문제: 연립부등식 \( \begin{cases} 2x – 4 > 0 \\ -x + 5 \ge 2 \end{cases} \) 를 풀어라.
풀이 과정:
1. 첫 번째 부등식 풀기: \(2x – 4 > 0\)
$$ 2x > 4 $$
$$ x > 2 $$
2. 두 번째 부등식 풀기: \(-x + 5 \ge 2\)
$$ -x \ge 2 – 5 $$
$$ -x \ge -3 $$
(양변에 -1을 곱하면 부등호 방향 바뀜)
$$ x \le 3 $$
3. 수직선 위에 나타내고 공통범위 찾기:
\(x > 2\) 와 \(x \le 3\)의 공통범위를 찾습니다.
공통범위는 \(2 < x \le 3\) 입니다.
답: \(2 < x \le 3\)
✅ 예제 2: 계수가 분수 또는 소수인 연립일차부등식
문제: 연립부등식 \( \begin{cases} \frac{1}{2}x – 1 < \frac{1}{3}x \\ 0.3(x+2) \ge 0.5x – 0.6 \end{cases} \) 를 풀어라.
풀이 과정:
1. 첫 번째 부등식 풀기: \(\frac{1}{2}x – 1 < \frac{1}{3}x\)
양변에 분모의 최소공배수인 6을 곱합니다:
$$ 6 \left(\frac{1}{2}x – 1\right) < 6 \left(\frac{1}{3}x\right) $$
$$ 3x – 6 < 2x $$
$$ 3x – 2x < 6 $$
$$ x < 6 $$
2. 두 번째 부등식 풀기: \(0.3(x+2) \ge 0.5x – 0.6\)
양변에 10을 곱하여 소수를 정수로 만듭니다:
$$ 10 \times 0.3(x+2) \ge 10 \times (0.5x – 0.6) $$
$$ 3(x+2) \ge 5x – 6 $$
$$ 3x + 6 \ge 5x – 6 $$
$$ 6 + 6 \ge 5x – 3x $$
$$ 12 \ge 2x $$
$$ 6 \ge x \quad \text{즉, } x \le 6 $$
3. 수직선 위에 나타내고 공통범위 찾기:
\(x < 6\) 와 \(x \le 6\)의 공통범위를 찾습니다.
공통범위는 \(x < 6\) 입니다. ( \(x \le 6\) 은 \(x < 6\) 또는 \(x=6\)을 의미하므로, 두 범위의 공통부분은 \(x < 6\)이 됩니다.)
답: \(x < 6\)
💡 마무리 정리:
- 연립일차부등식의 해는 각각의 부등식을 모두 만족하는 공통된 범위입니다.
- 각 일차부등식을 풀 때는 부등식의 성질을 정확히 적용해야 하며, 특히 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 바뀌는 점에 유의합니다.
- 각 부등식의 해를 구한 후에는 반드시 수직선을 이용하여 공통부분을 찾는 것이 실수를 줄이는 좋은 방법입니다.
- 공통부분이 없는 경우 “해가 없다”가 답이 될 수 있으며, 공통부분이 하나의 값으로 나오는 경우(예: \(x=3\))도 있습니다.
- 계수가 분수나 소수인 경우, 양변에 적절한 수를 곱하여 정수 계수로 만들어 푸는 것이 계산에 편리합니다.
계수가 유리수인 연립일차부등식 풀이 – 고1 수학 유형별 풀이