📘 개념 이해: “부호가 바뀌는 항 찾기”란?
등차수열의 항들은 공차의 부호에 따라 증가하거나 감소합니다. 만약 등차수열의 항들이 양수에서 음수로, 또는 음수에서 양수로 변한다면, 그 부호가 처음으로 바뀌는 항이 몇 번째 항인지 묻는 유형의 문제입니다.
핵심은 등차수열의 일반항 \(a_n = a + (n-1)d\)를 구한 뒤, 이 일반항이 특정 조건을 만족하는 (예: \(a_n > 0\), \(a_n < 0\)) 가장 작은 자연수 \(n\)을 찾는 것입니다. 이는 부등식을 세워 해결합니다.
🔑 핵심 원칙: 일반항과 부등식
첫째항이 \(a\), 공차가 \(d\)인 등차수열 \(\{a_n\}\)에서:
- (1) 처음으로 양수가 되는 항:일반항 \(a_n = a + (n-1)d\)에 대하여 부등식
$$ a + (n-1)d > 0 $$
을 만족시키는 가장 작은 자연수 \(n\)을 구합니다.
- (2) 처음으로 음수가 되는 항:일반항 \(a_n = a + (n-1)d\)에 대하여 부등식
$$ a + (n-1)d < 0 $$
을 만족시키는 가장 작은 자연수 \(n\)을 구합니다.
이때, 먼저 수열의 첫째항 \(a\)와 공차 \(d\)를 문제의 조건으로부터 구해야 합니다.
💡 부등식 풀이 전략
일반항을 구한 후, 조건을 만족하는 \(n\)을 찾기 위해 부등식을 세우고 푸는 과정이 중요합니다.
부등식 풀이 및 \(n\) 값 결정1. 첫째항(\(a\))과 공차(\(d\)) 구하기: 문제에서 주어진 조건(예: 특정 두 항의 값)을 이용하여 연립방정식 등을 통해 \(a\)와 \(d\)를 먼저 결정합니다.
2. 일반항(\(a_n\)) 작성: 구한 \(a\)와 \(d\)를 사용하여 일반항 \(a_n = a + (n-1)d\)를 완성합니다.
3. 부등식 세우기:
– 처음으로 양수가 되는 항을 찾으려면: \(a_n > 0\) 즉, \(a + (n-1)d > 0\)
– 처음으로 음수가 되는 항을 찾으려면: \(a_n < 0\) 즉, \(a + (n-1)d < 0\)
4. 부등식 풀기: 세운 부등식을 \(n\)에 대하여 풉니다. 예를 들어 \(n > k\) 또는 \(n < k\) 와 같은 형태의 해를 얻게 됩니다.
5. 자연수 \(n\) 결정:
– \(n > k\) 형태의 해를 얻었다면, 이를 만족하는 가장 작은 자연수 \(n\)은 \(k\)보다 큰 최소의 정수입니다.
– 예를 들어 \(n > 10.3\) 이라면, 가장 작은 자연수 \(n\)은 11입니다.
– 부등식의 해와 문제의 조건(처음으로~)을 종합하여 답을 결정합니다.
공차 \(d\)의 부호에 따라 부등식의 풀이 방향이 달라질 수 있으니 주의해야 합니다. 만약 공차 \(d\)가 음수인데 부등식 양변을 \(d\)로 나누거나 곱할 경우, 부등호의 방향이 바뀐다는 점을 잊지 말아야 합니다.
예를 들어, \(a_n = 50 – 3(n-1) < 0\)을 풀 때,
\(50 – 3n + 3 < 0 \Rightarrow 53 – 3n < 0 \Rightarrow -3n < -53 \Rightarrow 3n > 53 \Rightarrow n > \frac{53}{3} \approx 17.66\dots\)
이 경우, 처음으로 음수가 되는 항은 제18항이 됩니다.
💡 문제 풀이 단계 (부호 조건)
- 주어진 조건으로 \(a, d\) 구하기: 문제에 제시된 정보를 이용하여 등차수열의 첫째항 \(a\)와 공차 \(d\)를 찾습니다. (주로 두 항의 값이 주어짐)
- 일반항 \(a_n\) 표현: 구한 \(a\)와 \(d\)로 일반항 \(a_n = a + (n-1)d\)를 작성합니다.
- 조건에 맞는 부등식 설정:
- “처음으로 양수가 되는 항” \(\Rightarrow a_n > 0\)
- “처음으로 음수가 되는 항” \(\Rightarrow a_n < 0\)
- “처음으로 \(K\)보다 커지는 항” \(\Rightarrow a_n > K\)
- “처음으로 \(K\)보다 작아지는 항” \(\Rightarrow a_n < K\)
- 부등식 풀이: \(n\)에 대한 부등식을 풉니다.
- 최소 자연수 \(n\) 탐색: 부등식의 해를 만족하는 가장 작은 자연수 \(n\)을 찾습니다. 이 \(n\)값이 문제에서 요구하는 항 번호가 됩니다.
- 답 확인: 찾은 \(n\) 값에 대해 \(a_n\)과 \(a_{n-1}\)의 부호를 확인하여 조건에 맞는지 검토해 볼 수 있습니다.
✅ 예제 1: 처음으로 음수가 되는 항 찾기
문제: 제3항이 26이고 제8항이 11인 등차수열 \(\{a_n\}\)에서 처음으로 음수가 되는 항은 제 몇 항인가?
풀이 과정:
- \(a, d\) 구하기:
- \(a_3 = a + 2d = 26 \quad \cdots ①\)
- \(a_8 = a + 7d = 11 \quad \cdots ②\)
② – ①: \(5d = 11 – 26 = -15 \Rightarrow d = -3\)
\(d=-3\)을 ①에 대입: \(a + 2(-3) = 26 \Rightarrow a – 6 = 26 \Rightarrow a = 32\)
- 일반항 \(a_n\) 작성:
$$ a_n = 32 + (n-1)(-3) = 32 – 3n + 3 = 35 – 3n $$
- 부등식 설정 및 풀이: 처음으로 음수가 되는 항이므로 \(a_n < 0\)
$$ 35 – 3n < 0 $$
$$ -3n < -35 $$
$$ 3n > 35 $$
$$ n > \frac{35}{3} = 11.66\dots $$
- 최소 자연수 \(n\) 탐색: \(n > 11.66\dots\)를 만족하는 가장 작은 자연수 \(n\)은 12입니다.
답: 제12항
✅ 예제 2: 처음으로 양수가 되는 항 찾기
문제: 첫째항이 -40이고 공차가 3인 등차수열 \(\{a_n\}\)에서 처음으로 양수가 되는 항은 제 몇 항인가?
풀이 과정:
- 주어진 정보:
- \(a = -40\)
- \(d = 3\)
- 일반항 \(a_n\) 작성:
$$ a_n = -40 + (n-1)3 = -40 + 3n – 3 = 3n – 43 $$
- 부등식 설정 및 풀이: 처음으로 양수가 되는 항이므로 \(a_n > 0\)
$$ 3n – 43 > 0 $$
$$ 3n > 43 $$
$$ n > \frac{43}{3} = 14.33\dots $$
- 최소 자연수 \(n\) 탐색: \(n > 14.33\dots\)를 만족하는 가장 작은 자연수 \(n\)은 15입니다.
답: 제15항
✅ 예제 3: 특정 값보다 처음으로 커지는 항 찾기
문제: 등차수열 \(\{a_n\}\)의 제2항이 5이고, 제5항과 제9항의 합이 50이다. 이 수열에서 처음으로 100보다 커지는 항은 제 몇 항인가?
풀이 과정:
- \(a, d\) 구하기:
- \(a_2 = a + d = 5 \quad \cdots ①\)
- \(a_5 + a_9 = (a+4d) + (a+8d) = 2a + 12d = 50 \Rightarrow a + 6d = 25 \quad \cdots ②\)
② – ①: \((a+6d) – (a+d) = 25 – 5 \Rightarrow 5d = 20 \Rightarrow d = 4\)
\(d=4\)를 ①에 대입: \(a + 4 = 5 \Rightarrow a = 1\)
- 일반항 \(a_n\) 작성:
$$ a_n = 1 + (n-1)4 = 1 + 4n – 4 = 4n – 3 $$
- 부등식 설정 및 풀이: 처음으로 100보다 커지는 항이므로 \(a_n > 100\)
$$ 4n – 3 > 100 $$
$$ 4n > 103 $$
$$ n > \frac{103}{4} = 25.75 $$
- 최소 자연수 \(n\) 탐색: \(n > 25.75\)를 만족하는 가장 작은 자연수 \(n\)은 26입니다.
답: 제26항
💡 마무리 정리:
- 등차수열의 특정 항이 양수, 음수 또는 어떤 값보다 크거나 작아지는 조건을 묻는 문제는 일반항 \(a_n\)을 구하고 부등식을 세워 해결합니다.
- 부등식을 풀어서 얻은 \(n\)의 범위에서 “처음으로” 라는 조건에 맞는 가장 작은 자연수 \(n\)을 찾는 것이 중요합니다.
- 부등식을 풀 때, 공차 \(d\)가 음수인 경우 양변에 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 바뀌는 점에 유의해야 합니다.
- 문제를 풀기 전에 첫째항과 공차를 정확히 구하는 것이 선행되어야 합니다.