🔑 핵심 원칙:
- 시침과 분침의 분당 회전 각도를 정확히 계산한다.
- 특정 시각(\(a\)시 \(x\)분)에서 시침과 분침이 12시 방향으로부터 각각 얼마나 회전했는지 각도로 표현한다.
- 문제에서 주어진 두 바늘 사이의 관계(겹쳐짐, 일직선, 직각 등)를 각도를 이용하여 방정식으로 세운다.
- 방정식을 풀어 미지수(주로 분을 나타내는 \(x\))를 구한다.
💡 시침과 분침의 이동 각도
12시를 기준으로 시침과 분침이 움직인 각도는 다음 표와 같습니다. 이 값들은 시계 문제 해결의 기본이 됩니다.
| 60분 (1시간) 동안 | 1분 동안 | \(x\)분 동안 | \(a\)시 \(x\)분 일 때 (12시 기준) | |
|---|---|---|---|---|
| 분침 | 360° | \(\frac{360^\circ}{60} = 6^\circ\) | \(6^\circ \times x = 6x^\circ\) | \(6x^\circ\) |
| 시침 | \(\frac{360^\circ}{12} = 30^\circ\) | \(\frac{30^\circ}{60} = 0.5^\circ\) | \(0.5^\circ \times x = 0.5x^\circ\) | \(30^\circ \times a + 0.5^\circ \times x = (30a + 0.5x)^\circ\) |
설명:
- 분침: 60분 동안 360°를 회전하므로, 1분에는 \(360^\circ \div 60 = 6^\circ\)를 회전합니다. 따라서 \(x\)분 동안에는 \(6x^\circ\)를 회전합니다. \(a\)시 \(x\)분일 때 분침의 위치는 \(x\)분에만 영향을 받으므로 12시 기준으로 \(6x^\circ\)입니다.
- 시침: 12시간(720분) 동안 360°를 회전합니다. 따라서 1시간(60분)에는 \(360^\circ \div 12 = 30^\circ\)를 회전하고, 1분에는 \(30^\circ \div 60 = 0.5^\circ\)를 회전합니다.따라서 \(a\)시 \(x\)분일 때 시침의 위치는, 먼저 \(a\)시 정각까지 \(30^\circ \times a\)만큼 회전하고, 추가로 \(x\)분 동안 \(0.5^\circ \times x\)만큼 더 회전하므로, 12시 기준으로 총 \((30a + 0.5x)^\circ\)가 됩니다.
💡 문제 풀이 단계 (시계 문제)
- 기준 시각 설정: 문제에서 주어진 시각 범위(예: \(a\)시와 \((a+1)\)시 사이)를 확인하고, 기준 시각을 \(a\)시로 잡습니다. 구하고자 하는 시각을 \(a\)시 \(x\)분으로 설정합니다.
- 시침과 분침의 위치 계산:
- \(a\)시 \(x\)분일 때, 12시 방향을 기준으로 분침이 이루는 각도를 \(6x^\circ\)로 표현합니다.
- \(a\)시 \(x\)분일 때, 12시 방향을 기준으로 시침이 이루는 각도를 \((30a + 0.5x)^\circ\)로 표현합니다.
- 방정식 세우기: 문제에서 주어진 두 바늘의 관계를 이용하여 방정식을 세웁니다.
- 겹쳐지는 경우 (일치): (분침의 각도) = (시침의 각도)
$$ 6x = 30a + 0.5x $$
- 일직선이 되는 경우 (180° 차이):
- 분침이 시침보다 앞서서 일직선: (분침의 각도) – (시침의 각도) = 180°
- 시침이 분침보다 앞서서 일직선: (시침의 각도) – (분침의 각도) = 180°
- 또는 일반적으로: \(|(\text{분침 각도}) – (\text{시침 각도})| = 180^\circ\)
- 직각을 이루는 경우 (90° 차이):
- 분침이 시침보다 앞서서 직각: (분침의 각도) – (시침의 각도) = 90°
- 시침이 분침보다 앞서서 직각: (시침의 각도) – (분침의 각도) = 90°
- 또는 일반적으로: \(|(\text{분침 각도}) – (\text{시침 각도})| = 90^\circ\) (또는 270°)
- 주의: 한 시간 동안 직각은 보통 두 번 생깁니다.
- 겹쳐지는 경우 (일치): (분침의 각도) = (시침의 각도)
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 미지수 \(x\)(분)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 \(x\) 값이 해당 시간 범위(보통 0 < \(x\) < 60)에 맞는지 확인합니다.
- 문제에서 요구하는 시각을 “\(a\)시 \(x\)분” 또는 “\(a\)시 \(\frac{분자}{분모}\)분” 형태로 정확히 답합니다.
✅ 예제 1: 시침과 분침이 겹쳐지는 시각 구하기
문제: 7시와 8시 사이에서 시계의 시침과 분침이 정확히 겹쳐지는 시각은 몇 시 몇 분인가?
풀이 과정:
- 기준 시각 설정: 구하는 시각을 7시 \(x\)분이라고 합니다. (여기서 \(a=7\))
- 시침과 분침의 위치 (12시 기준):
- 분침의 각도: \(6x^\circ\)
- 시침의 각도: \((30 \times 7 + 0.5x)^\circ = (210 + 0.5x)^\circ\)
- 방정식 세우기 (겹쳐지는 경우): (분침의 각도) = (시침의 각도)
$$ 6x = 210 + 0.5x $$
- 방정식 풀기:
$$ 6x – 0.5x = 210 $$
$$ 5.5x = 210 $$
$$ \frac{11}{2}x = 210 $$
$$ x = 210 \times \frac{2}{11} = \frac{420}{11} $$
\(x = 38\frac{2}{11}\) (0 < x < 60 이므로 조건 만족)
- 답 구하기:시침과 분침이 겹쳐지는 시각은 7시 \(\frac{420}{11}\)분 (또는 7시 \(38\frac{2}{11}\)분) 입니다.
답: 7시 \(\frac{420}{11}\)분 (또는 7시 \(38\frac{2}{11}\)분)
✅ 예제 2: 시침과 분침이 일직선이 되는 시각 구하기
문제: 1시와 2시 사이에서 시계의 시침과 분침이 서로 반대 방향을 가리키며 일직선이 되는 시각은 몇 시 몇 분인가?
풀이 과정:
- 기준 시각 설정: 구하는 시각을 1시 \(x\)분이라고 합니다. (여기서 \(a=1\))
- 시침과 분침의 위치 (12시 기준):
- 분침의 각도: \(6x^\circ\)
- 시침의 각도: \((30 \times 1 + 0.5x)^\circ = (30 + 0.5x)^\circ\)
- 방정식 세우기 (일직선, 180° 차이): 1시와 2시 사이에서는 분침이 시침보다 더 많이 회전하여 180° 차이를 만들게 됩니다.(분침의 각도) – (시침의 각도) = 180°
$$ 6x – (30 + 0.5x) = 180 $$
- 방정식 풀기:
$$ 6x – 30 – 0.5x = 180 $$
$$ 5.5x = 180 + 30 $$
$$ 5.5x = 210 $$
$$ \frac{11}{2}x = 210 $$
$$ x = 210 \times \frac{2}{11} = \frac{420}{11} $$
\(x = 38\frac{2}{11}\) (0 < x < 60 이므로 조건 만족)
- 답 구하기:시침과 분침이 일직선이 되는 시각은 1시 \(\frac{420}{11}\)분 (또는 1시 \(38\frac{2}{11}\)분) 입니다.
답: 1시 \(\frac{420}{11}\)분 (또는 1시 \(38\frac{2}{11}\)분)
💡 마무리 정리:
- 시계 문제의 핵심은 분침은 1분에 \(6^\circ\), 시침은 1분에 \(0.5^\circ\) 회전한다는 사실을 이용하는 것입니다.
- 모든 각도는 12시 방향을 기준 (0°)으로 시계 방향으로 증가하는 것으로 간주합니다.
- \(a\)시 \(x\)분일 때, 분침의 위치는 \(6x^\circ\), 시침의 위치는 \((30a + 0.5x)^\circ\)임을 정확히 계산해야 합니다.
- 두 바늘이 겹쳐질 때는 두 각도가 같고, 일직선일 때는 두 각도의 차이가 180°, 직각일 때는 두 각도의 차이가 90° 또는 270°임을 이용하여 방정식을 세웁니다.
- 일직선이나 직각의 경우, 분침이 시침보다 앞서는 경우와 뒤처지는 경우를 모두 고려해야 할 때도 있습니다 (보통 한 시간 내에 두 번 발생 가능).