📘 개념 이해: “시간 차가 생기는 경우”란?
“시간 차가 생기는 경우”의 거리, 속력, 시간 문제는 같은 거리를 다른 속력으로 이동하거나, 다른 경로를 이용하거나, 출발 시간 또는 도착 시간에 차이가 발생하여 결과적으로 두 경우 사이에 걸린 시간에 차이가 생기는 상황을 다룹니다. 예를 들어, “A 방법으로 가면 B 방법으로 갈 때보다 10분 더 걸린다” 또는 “형이 출발한 지 20분 후에 동생이 출발했다” 등이 이 유형에 해당합니다.
이 유형의 핵심은 두 가지 상황 각각에 걸린 시간을 계산하고, 그 시간의 차이를 이용하여 방정식을 세우는 것입니다.
| 구하는 것 | 공식 |
|---|---|
| 거리 | \(\text{속력} \times \text{시간}\) |
| 속력 | \(\frac{\text{거리}}{\text{시간}}\) |
| 시간 | \(\frac{\text{거리}}{\text{속력}}\) |
💡 시간 차를 이용한 방정식 세우기
두 가지 다른 방법(또는 다른 사람, 다른 경로 등)으로 이동할 때 걸리는 시간 사이에 차이가 발생하는 경우, 다음과 같은 원리를 이용하여 방정식을 세웁니다.
방정식 세우기의 핵심 원리시간 차는 항상 더 오래 걸린 시간에서 더 적게 걸린 시간을 뺀 값으로 표현합니다.
$$ (\text{느린 쪽이 걸린 시간}) – (\text{빠른 쪽이 걸린 시간}) = (\text{시간 차}) $$
여기서 “느린 쪽”이란 같은 거리를 이동할 때 속력이 더 느리거나, 더 긴 경로를 이용하거나, 다른 요인으로 인해 시간이 더 오래 걸리는 경우를 의미합니다. “빠른 쪽”은 그 반대입니다.
제공해주신 이미지의 핵심 내용이 바로 이 원리입니다.
각각의 “걸린 시간”은 기본 공식 \(\text{시간} = \frac{\text{거리}}{\text{속력}}\)을 사용하여 \(x\)에 대한 식으로 표현한 후, 위 등식에 대입합니다.
주의: 시간 차를 계산할 때는 반드시 단위를 통일해야 합니다. 예를 들어, 시간 차가 ’10분’으로 주어졌다면, 다른 시간 계산도 ‘분’ 단위로 하거나, ’10분’을 ‘\(\frac{10}{60}\)시간’으로 변환하여 ‘시간’ 단위로 통일해야 합니다.
💡 문제 풀이 단계 (시간 차가 생기는 경우)
- 문제 분석 및 정보 정리:
- 시간 차이가 발생하는 두 가지 상황(또는 두 사람, 두 방법)을 명확히 구분합니다.
- 각 상황에서의 거리, 속력 정보를 정리합니다.
- 주어진 시간 차가 얼마인지, 그리고 그 단위가 무엇인지 확인합니다.
- 미지수 설정:
- 문제에서 구하고자 하는 값(일반적으로 거리)을 미지수 \(x\)로 설정합니다.
- 각 상황에서 걸린 시간 표현:
- 각 상황(느린 쪽, 빠른 쪽)에 대해 \(\text{시간} = \frac{\text{거리}}{\text{속력}}\) 공식을 사용하여, \(x\)에 대한 식으로 걸린 시간을 나타냅니다.
- 이때, 단위 통일에 각별히 주의합니다. (특히 시간 단위: 시, 분)
- 방정식 세우기:
- 위에서 설명한 핵심 원리 \((\text{느린 쪽 시간}) – (\text{빠른 쪽 시간}) = (\text{시간 차})\)를 이용하여 방정식을 세웁니다.
- 어느 쪽이 시간이 더 오래 걸리는지(느린 쪽인지) 판단하는 것이 중요합니다. 일반적으로 같은 거리를 간다면 속력이 느린 쪽이 시간이 더 오래 걸립니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 \(x\)의 값을 구합니다. 이 유형도 분수 형태의 항이 포함된 일차방정식이 자주 등장합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 \(x\) 값이 문제의 조건(예: 거리는 양수)에 맞는지 확인합니다.
- \(x\) 값을 바탕으로 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다.
- 구한 값을 이용하여 각 상황에서의 시간을 실제로 계산해보고, 그 차이가 주어진 시간 차와 일치하는지 검산합니다.
✅ 예제 1: 같은 거리를 다른 속력으로 갈 때 시간 차
문제: 집에서 학교까지 가는데 시속 4km로 걸어가면 시속 12km로 자전거를 타고 가는 것보다 30분 더 걸린다고 한다. 집에서 학교까지의 거리는 몇 km인가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 집에서 학교까지의 거리를 \(x\) km라고 합니다.
- 각 상황의 정보 정리 및 시간 표현 (시간 단위로 통일):
- 걸어갈 때 (느린 쪽): 거리 \(x\) km, 속력 시속 4km \(\implies\) 걸린 시간 \(\frac{x}{4}\) 시간
- 자전거 탈 때 (빠른 쪽): 거리 \(x\) km, 속력 시속 12km \(\implies\) 걸린 시간 \(\frac{x}{12}\) 시간
- 시간 차: 30분 = \(\frac{30}{60}\) 시간 = \(\frac{1}{2}\) 시간
- 방정식 세우기: (걸어갈 때 걸린 시간) – (자전거 탈 때 걸린 시간) = (시간 차)
$$ \frac{x}{4} – \frac{x}{12} = \frac{1}{2} $$
- 방정식 풀기: (양변에 분모의 최소공배수인 12를 곱한다)
$$ 12 \cdot \frac{x}{4} – 12 \cdot \frac{x}{12} = 12 \cdot \frac{1}{2} $$
$$ 3x – x = 6 $$
$$ 2x = 6 $$
$$ x = 3 $$
- 답 구하기 및 확인:집에서 학교까지의 거리 \(x\)는 3km입니다.확인:
- 걸어갈 때 시간: \(\frac{3}{4}\) 시간 = 45분
- 자전거 탈 때 시간: \(\frac{3}{12} = \frac{1}{4}\) 시간 = 15분
- 시간 차: 45분 – 15분 = 30분. (문제 조건과 일치)
답: 집에서 학교까지의 거리는 3 km이다.
✅ 예제 2: 왕복 시 시간 차 (다른 경로 또는 다른 속력)
문제: A지점에서 B지점까지 왕복하는데, 갈 때는 시속 6km로, 올 때는 시속 4km로 걸었더니 올 때가 갈 때보다 20분이 더 걸렸다. A지점에서 B지점 사이의 거리는 몇 km인가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: A지점에서 B지점 사이의 거리를 \(x\) km라고 합니다.
- 각 상황의 정보 정리 및 시간 표현 (시간 단위로 통일):
- 갈 때 (빠른 쪽): 거리 \(x\) km, 속력 시속 6km \(\implies\) 걸린 시간 \(\frac{x}{6}\) 시간
- 올 때 (느린 쪽): 거리 \(x\) km, 속력 시속 4km \(\implies\) 걸린 시간 \(\frac{x}{4}\) 시간
- 시간 차: 20분 = \(\frac{20}{60}\) 시간 = \(\frac{1}{3}\) 시간 (올 때가 더 걸렸으므로)
- 방정식 세우기: (올 때 걸린 시간) – (갈 때 걸린 시간) = (시간 차)
$$ \frac{x}{4} – \frac{x}{6} = \frac{1}{3} $$
- 방정식 풀기: (양변에 분모의 최소공배수인 12를 곱한다)
$$ 12 \cdot \frac{x}{4} – 12 \cdot \frac{x}{6} = 12 \cdot \frac{1}{3} $$
$$ 3x – 2x = 4 $$
$$ x = 4 $$
- 답 구하기 및 확인:A지점에서 B지점 사이의 거리 \(x\)는 4km입니다.확인:
- 갈 때 시간: \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\) 시간 = 40분
- 올 때 시간: \(\frac{4}{4} = 1\) 시간 = 60분
- 시간 차: 60분 – 40분 = 20분. (문제 조건과 일치)
답: A지점에서 B지점 사이의 거리는 4 km이다.
💡 마무리 정리:
- 시간 차 문제는 어느 쪽이 시간이 더 오래 걸리는지(느린 쪽) 명확히 파악하여 식을 세우는 것이 중요합니다. (\((\text{더 오래 걸린 시간}) – (\text{덜 걸린 시간}) = (\text{시간 차})\))
- 시간 단위 통일은 실수를 줄이는 데 매우 중요합니다. 문제가 ‘분’ 단위로 시간 차를 제시하면, 다른 시간 계산도 ‘분’으로 하거나, 시간 차를 ‘시간’ 단위로 환산하여 모든 계산을 ‘시간’ 단위로 통일해야 합니다.
- 문제를 시각화하기 위해 간단한 그림이나 경로도를 그려보는 것이 도움이 될 수 있습니다.
- 방정식을 세우기 전에 각 상황에서의 거리, 속력, 시간 관계를 명확히 정리하는 습관을 들이세요.
속력이 바뀌는 유형- 거리, 속력, 시간 문제 (1) – 중1 수학 일차방정식 활용 유형