🔑 나눗셈의 관계식
두 자연수 \(a, b\)에 대하여 \(a\)를 \(b\)로 나누면 몫이 \(q\)이고 나머지가 \(r\)이라고 할 때, 다음 관계가 성립합니다:
$$ a = b \times q + r $$
이때 매우 중요한 조건은 나머지에 대한 것입니다:
$$ (\text{단, } 0 \le r < b) $$
즉, 나머지(\(r\))는 항상 0 이상이고 나누는 수(\(b\))보다 작아야 합니다.
💡 용어 정리 및 관계식 활용
- 나누어지는 수 (피제수, Dividend):
- 위 관계식에서 \(a\)에 해당합니다.
- 나누는 수 (제수, Divisor):
- 위 관계식에서 \(b\)에 해당합니다. 나누는 수는 0이 될 수 없습니다. (자연수 범위에서는 항상 0보다 큽니다.)
- 몫 (Quotient):
- 위 관계식에서 \(q\)에 해당합니다.
- 나머지 (Remainder):
- 위 관계식에서 \(r\)에 해당하며, \(0 \le \text{나머지} < \text{나누는 수}\) 조건을 항상 만족해야 합니다.
문제에서 “큰 수를 작은 수로 나누면…”과 같은 표현이 나오면, 어떤 수가 \(a\)이고 어떤 수가 \(b\)인지 명확히 구분하여 관계식을 적용해야 합니다.
💡 문제 풀이 단계 (나눗셈 관계 문제)
- 문제 분석 및 정보 정리:
- 문제에 등장하는 두 (또는 그 이상) 미지의 수를 파악합니다.
- 주어진 조건들을 정리합니다. (예: 두 수의 합, 두 수의 차, 한 수를 다른 수로 나눈 몫과 나머지 등)
- 미지수 설정:
- 일반적으로 문제에서 구하라고 하는 수 또는 관계식을 세우기 편한 수를 미지수 \(x\) (또는 \(x, y\))로 설정합니다.
- 예를 들어, “두 자연수”라고 하면 작은 수를 \(x\), 큰 수를 \(y\)로 놓거나, 합이 주어졌다면 작은 수를 \(x\), 큰 수를 (합 – \(x\))로 놓을 수 있습니다.
- 방정식 세우기:
- 주어진 조건들을 이용하여 방정식을 세웁니다.
- 두 수의 합/차에 대한 식: 예) \(x + y = (\text{합})\), \(y – x = (\text{차})\)
- 나눗셈 관계식: (나누어지는 수) = (나누는 수) \(\times\) (몫) + (나머지)
- 미지수가 2개인 경우 연립방정식을 세워야 할 수도 있고, 한 문자로 정리하여 하나의 방정식으로 만들 수도 있습니다.
- 주어진 조건들을 이용하여 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 미지수의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 미지수 값이 문제의 조건(예: 자연수인지, 나머지 조건 \(0 \le r < b\)를 만족하는지 등)에 맞는지 확인합니다.
- 구한 값을 바탕으로 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다.
- 구한 수들을 원래 조건에 대입하여 모든 조건이 만족되는지 검산합니다.
✅ 예제 1: 두 자연수의 합과 나눗셈 관계
문제: 두 자연수의 합은 58이다. 큰 수를 작은 수로 나누면 몫은 3이고 나머지는 2라고 한다. 두 자연수 중 작은 수를 구하시오.
풀이 과정:
- 미지수 설정:
- 작은 수를 \(x\)라고 합니다.
- 두 수의 합이 58이므로, 큰 수는 \((58 – x)\)입니다.
- (조건: 큰 수 > 작은 수 \(\implies 58 – x > x \implies 58 > 2x \implies x < 29\). 또한 \(x\)는 자연수)
- 나눗셈 관계식 적용: “큰 수를 작은 수로 나누면 몫은 3이고 나머지는 2이다.”(큰 수) = (작은 수) \(\times\) (몫) + (나머지)
$$ (58 – x) = x \times 3 + 2 $$
(나머지 조건 확인: \(0 \le 2 < x\). 즉, \(x > 2\)여야 합니다.)
- 방정식 풀기:
$$ 58 – x = 3x + 2 $$
$$ 58 – 2 = 3x + x $$
$$ 56 = 4x $$
$$ x = \frac{56}{4} = 14 $$
- 답 구하기 및 확인:작은 수 \(x\)는 14입니다.조건 확인:
- \(x=14\)는 자연수입니다.
- \(x < 29\) (즉, \(14 < 29\)) 조건을 만족합니다.
- 나머지 조건 \(x > 2\) (즉, \(14 > 2\)) 조건을 만족합니다.
큰 수: \(58 – 14 = 44\)
검산:
- 두 수의 합: \(14 + 44 = 58\) (일치)
- 큰 수(44)를 작은 수(14)로 나누기: \(44 \div 14\). 몫은 3 (\(14 \times 3 = 42\)), 나머지는 \(44 – 42 = 2\). (일치)
답: 작은 수는 14이다.
💡 마무리 정리:
- 수의 연산, 특히 나눗셈에 관한 문제의 핵심은 나눗셈의 관계식 \(a = bq + r\)을 정확히 이해하고 사용하는 것입니다.
- 가장 중요한 것은 나머지 \(r\)의 조건 (\(0 \le r < \text{나누는 수 } b\))을 반드시 확인하는 것입니다. 이 조건을 만족하지 않으면 올바른 해가 아닙니다.
- 미지수를 설정할 때, 문제에서 요구하는 값 또는 식을 세우기 용이한 값을 선택합니다. 두 개 이상의 미지수가 필요한 경우 연립방정식을 활용할 수 있습니다.
- 두 자리 또는 세 자리 자연수를 표현할 때 (예: \(10x+y\)) 각 자리 숫자의 범위(0~9, 단 맨 앞자리는 0 제외)에 유의해야 합니다.
- 문제를 꼼꼼히 읽고 나누는 수와 나누어지는 수를 혼동하지 않도록 주의합니다.
자릿수 유형 – 연립방정식 활용 대표 유형 개념 및 문제 풀이 – 중2수학