📘 개념 이해: “속력이 도중에 바뀌는 경우”란?
“속력이 도중에 바뀌는 경우”의 거리, 속력, 시간 문제는 어떤 지점에서 다른 지점까지 이동하는 과정에서 한 번 이상 속력이 변경되는 상황을 다룹니다. 예를 들어, 처음에는 빠르게 달리다가 지쳐서 느리게 걷거나, 특정 구간은 일반 도로로 가다가 다른 구간은 고속도로로 가는 경우 등이 해당됩니다.
이 유형의 핵심은 전체 이동 경로를 속력이 일정한 여러 구간으로 나누어 각 구간에서의 거리, 속력, 시간을 개별적으로 다루고, 이들을 총 이동 거리 또는 총 걸린 시간과 연결하여 방정식을 세우는 것입니다.
💡 속력이 도중에 바뀌는 경우의 방정식 세우기
이동 경로가 A \(\rightarrow\) B \(\rightarrow\) C 와 같고, A에서 B까지는 시속 \(a\) km, B에서 C까지는 시속 \(b\) km로 이동하는 경우를 생각해 봅시다. A에서 B까지의 거리를 \(x\) km, B에서 C까지의 거리를 \(y\) km라고 할 때, 다음과 같은 연립방정식을 세울 수 있습니다.
그림: A \(\rightarrow\) B (속력 \(a\), 거리 \(x\)), B \(\rightarrow\) C (속력 \(b\), 거리 \(y\))
연립방정식 세우기의 핵심 원리
\( \begin{cases} x + y = (\text{총 이동 } \mathbf{거리}) & \text{— (거리의 합)} \\ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = (\text{총 걸린 } \mathbf{시간}) & \text{— (시간의 합)} \end{cases} \)
\(\cdot \frac{x}{a}\) : A에서 B까지 가는 데 걸린 시간
\(\cdot \frac{y}{b}\) : B에서 C까지 가는 데 걸린 시간
제공해주신 이미지의 내용이 바로 이 연립방정식의 형태를 보여주고 있습니다.
- 첫 번째 식은 각 구간의 거리의 합이 전체 이동 거리와 같다는 관계를 나타냅니다. (이미지에서 빈칸 ①은 거리)
- 두 번째 식은 각 구간에서 걸린 시간의 합이 전체 걸린 시간과 같다는 관계를 나타냅니다. (이미지에서 빈칸 ②는 시간)
문제에서 총 이동 거리와 총 걸린 시간이 모두 주어지고, 각 구간의 거리(또는 시간)를 구해야 할 때 이 연립방정식을 활용합니다. 만약 미지수를 하나만 사용하여 일차방정식으로 풀어야 한다면, 한 구간의 거리를 \(x\)로 놓고 다른 구간의 거리는 (총 거리 – \(x\))로 표현하여 시간의 합에 대한 식을 세우는 경우가 많습니다.
💡 문제 풀이 단계 (속력이 도중에 바뀌는 경우)
- 구간 나누기 및 정보 정리: 속력이 바뀌는 지점을 기준으로 전체 경로를 여러 구간으로 나눕니다. 각 구간의 속력, 그리고 주어진 총 이동 거리 또는 총 걸린 시간을 확인합니다.
- 미지수 설정:
- 각 구간의 거리를 미지수 \(x, y\) 등으로 설정하거나, 한 구간의 거리를 \(x\)로 놓고 다른 구간의 거리를 전체 거리와의 관계를 이용하여 표현합니다.
- 또는 각 구간에서 걸린 시간을 미지수로 설정할 수도 있습니다.
- 각 구간의 거리, 시간 표현: 미지수와 주어진 속력을 이용하여 각 구간의 거리 또는 시간을 식으로 나타냅니다. (\(\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}\), \(\text{시간} = \frac{\text{거리}}{\text{속력}}\))
- 방정식 세우기:
- 주로 (구간1 거리) + (구간2 거리) = (총 거리) 와 (구간1 시간) + (구간2 시간) = (총 시간) 중 문제에서 주어진 정보를 활용하여 방정식을 세웁니다.
- 미지수가 2개면 연립방정식을, 1개면 일차방정식을 세웁니다.
- 단위 통일: 시간(시, 분), 거리(km, m), 속력(km/h, m/분 등)의 단위를 반드시 통일합니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 미지수의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인: 구한 값이 문제의 조건에 맞는지 확인하고, 최종 답을 작성합니다. 검산 과정을 통해 확인합니다.
✅ 예제 1: 총 거리와 총 시간이 주어진 경우 (연립방정식)
문제: A지점에서 C지점까지의 총 거리는 15km이다. A에서 B지점까지는 시속 4km로 걷고, B에서 C지점까지는 시속 6km로 걸어서 총 3시간이 걸렸다. A에서 B까지의 거리와 B에서 C까지의 거리를 각각 구하시오.
풀이 과정:
- 미지수 설정:
- A에서 B까지의 거리를 \(x\) km
- B에서 C까지의 거리를 \(y\) km
- 방정식 세우기:1. 거리의 합: \(x + y = 15\) — (식 ①)
2. 시간의 합: (A-B 시간) + (B-C 시간) = 총 시간
\(\quad \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 3\) — (식 ②)
- 연립방정식 풀기:(식 ②)의 양변에 12를 곱하면: \(3x + 2y = 36\) — (식 ③)
(식 ①)에서 \(y = 15 – x\)를 (식 ③)에 대입:
$$ 3x + 2(15 – x) = 36 $$
$$ 3x + 30 – 2x = 36 $$
$$ x = 36 – 30 $$
$$ x = 6 $$
\(x=6\)을 (식 ①)에 대입: \(6 + y = 15 \implies y = 9\)
- 답 구하기 및 확인:A에서 B까지의 거리는 6km, B에서 C까지의 거리는 9km입니다.
확인: 총 거리 \(6+9=15\)km. 총 시간 \(\frac{6}{4} + \frac{9}{6} = 1.5 + 1.5 = 3\)시간. (모두 일치)
답: A에서 B까지의 거리는 6 km, B에서 C까지의 거리는 9 km이다.
✅ 예제 2: 한 구간의 거리를 미지수로 설정 (일차방정식)
문제: 집에서 8km 떨어진 할머니 댁에 가는데, 처음에는 분속 50m로 걷다가 도중에 힘들어서 분속 30m로 걸었더니 총 200분이 걸렸다. 분속 50m로 걸은 거리는 몇 m인가?
풀이 과정:
- 단위 통일 확인: 거리는 km와 m, 속력은 분속 m, 시간은 분. 여기서는 거리를 m로 통일하는 것이 편리해 보입니다.총 거리: 8km = 8000m
- 미지수 설정: 분속 50m로 걸은 거리를 \(x\) m라고 합니다.
- 각 구간의 거리 및 시간 표현:
- 구간 1 (분속 50m): 거리 = \(x\) m, 속력 = 분속 50m \(\implies\) 걸린 시간 = \(\frac{x}{50}\) 분
- 구간 2 (분속 30m): 거리 = \((8000 – x)\) m, 속력 = 분속 30m \(\implies\) 걸린 시간 = \(\frac{8000 – x}{30}\) 분
- 방정식 세우기 (총 걸린 시간 이용):
$$ \frac{x}{50} + \frac{8000 – x}{30} = 200 $$
- 방정식 풀기: (양변에 분모의 최소공배수인 150을 곱한다)
$$ 150 \cdot \frac{x}{50} + 150 \cdot \frac{8000 – x}{30} = 150 \cdot 200 $$
$$ 3x + 5(8000 – x) = 30000 $$
$$ 3x + 40000 – 5x = 30000 $$
$$ -2x = 30000 – 40000 $$
$$ -2x = -10000 $$
$$ x = 5000 $$
- 답 구하기 및 확인:분속 50m로 걸은 거리 \(x\)는 5000m (또는 5km)입니다.
확인:
- 구간 1 (분속 50m): 거리 5000m, 시간 \(\frac{5000}{50} = 100\)분
- 구간 2 (분속 30m): 거리 \(8000-5000=3000\)m, 시간 \(\frac{3000}{30} = 100\)분
- 총 걸린 시간: \(100 + 100 = 200\)분. (문제 조건과 일치)
답: 분속 50m로 걸은 거리는 5000 m (또는 5 km)이다.
💡 마무리 정리:
- 속력이 도중에 바뀌는 문제는 전체 경로를 속력이 일정한 구간들로 나누어 각 구간별로 거리, 속력, 시간을 분석하는 것이 핵심입니다.
- 총 이동 거리 또는 총 걸린 시간에 대한 정보를 이용하여 방정식을 세웁니다. 연립방정식이 필요한 경우도 있고, 미지수를 하나로 설정하여 일차방정식으로 풀 수도 있습니다.
- 단위 통일은 매우 중요합니다. 계산 전에 모든 단위를 일관되게 맞춰야 실수를 줄일 수 있습니다.
- 문제를 시각화하기 위해 간단한 경로도를 그려보는 것이 도움이 됩니다.