📘 개념 이해: “소금물의 양 또는 소금의 양 구하기”란?
“소금물의 양 또는 소금의 양 구하기” 문제는 농도 문제의 가장 기본적인 유형 중 하나입니다. 주로 농도가 다른 두 종류의 소금물을 섞거나, 물이나 소금을 추가/제거하여 새로운 농도의 소금물을 만드는 상황에서, 각 소금물의 양 또는 그 안에 포함된 소금의 양을 구하는 것을 목표로 합니다.
이 유형의 문제를 해결하는 핵심은 소금물의 변화 과정에서 변하지 않는 양(주로 소금의 양)을 추적하거나, 전체 소금물의 양과 전체 소금의 양이 각 부분의 합과 같다는 원리를 이용하는 것입니다.
🔑 농도 문제의 기본 공식 (복습):
- 농도 (\%): \( \frac{\text{소금의 양}}{\text{소금물의 양}} \times 100 \)
- 소금의 양: \( \frac{\text{농도}(\%)}{100} \times \text{소금물의 양} \)
- 소금물의 양: \( \text{소금의 양} + \text{물의 양} \)
💡 두 소금물을 섞을 때의 원리
농도가 다른 두 소금물 A, B를 섞을 때, 다음과 같은 두 가지 중요한 보존 법칙이 성립합니다.
두 소금물을 섞을 때의 보존 법칙1. 소금물의 양 보존:
$$ (\text{소금물 A의 양}) + (\text{소금물 B의 양}) = (\text{전체 } \mathbf{소금물} \text{의 양}) $$
(이미지에서 빈칸 ①에 들어갈 것은 소금물 입니다.)
2. 소금의 양 보존:
$$ (\text{소금물 A의 소금의 양}) + (\text{소금물 B의 소금의 양}) = (\text{전체 } \mathbf{소금} \text{의 양}) $$
(이미지에서 빈칸 ②에 들어갈 것은 소금 입니다.)
이 두 가지 원리는 농도 문제를 푸는 데 있어 방정식을 세우는 핵심 근거가 됩니다.
- 첫 번째 원리는 섞기 전 각 소금물의 질량(또는 부피)의 합이 섞은 후 전체 소금물의 질량(부피)과 같다는 것입니다.
- 두 번째 원리는 더 중요하며, 섞기 전 각 소금물에 녹아 있던 소금의 총량이 섞은 후에도 변하지 않고 그대로 전체 소금물에 녹아 있다는 것입니다. (물을 더 넣거나 증발시키는 경우에도 이 원리는 소금의 양에 대해 적용됩니다.)
보통 문제에서 섞어야 할 각 소금물의 양을 미지수(\(x, y\))로 놓고, 위 두 원리를 이용하여 연립방정식을 세워 해결합니다.
💡 문제 풀이 단계 (소금물의 양 또는 소금의 양 구하기)
- 문제 분석 및 정보 정리:
- 섞기 전 각 소금물의 농도와 양 (또는 미지수)을 파악합니다.
- 섞은 후 만들어야 하는 소금물의 농도와 총량 (또는 미지수)을 파악합니다.
- 미지수 설정:
- 문제에서 구하고자 하는 값(예: 섞어야 할 각 소금물의 양)을 미지수 \(x\) (또는 \(x, y\))로 설정합니다.
- 각 소금물에 포함된 소금의 양 표현:
- \(\text{소금의 양} = \frac{\text{농도}}{100} \times \text{소금물의 양}\) 공식을 사용하여, 섞기 전 각 소금물과 섞은 후의 소금물에 포함된 소금의 양을 미지수를 포함한 식으로 나타냅니다.
- 방정식 세우기:
- 위에서 설명한 두 가지 보존 법칙을 이용하여 방정식을 세웁니다.
- 소금물의 양에 대한 식: \(x + y = (\text{섞은 후 총 소금물의 양})\)
- 소금의 양에 대한 식: \((\text{A의 소금량}) + (\text{B의 소금량}) = (\text{섞은 후 총 소금량})\)
- 보통 이 두 식을 연립하여 풉니다.
- 위에서 설명한 두 가지 보존 법칙을 이용하여 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀기: 세운 연립방정식을 풀어 미지수 \(x, y\)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인: 구한 값이 문제의 조건(예: 양은 양수)에 맞는지 확인하고, 최종 답을 작성합니다. 검산 과정을 통해 확인하는 것이 좋습니다.
✅ 예제 1: 두 종류의 소금물 섞기 (각 소금물의 양 구하기)
문제: 4%의 소금물과 10%의 소금물을 섞어서 8%의 소금물 600g을 만들려고 한다. 이때 4%의 소금물과 10%의 소금물은 각각 몇 g씩 섞어야 하는가?
풀이 과정:
- 미지수 설정:
- 섞어야 할 4% 소금물의 양을 \(x\) g
- 섞어야 할 10% 소금물의 양을 \(y\) g
- 방정식 세우기:1. 소금물의 양에 대한 식:
$$ x + y = 600 \text{ — (식 ①)} $$
2. 소금의 양에 대한 식:
\((\text{4% 소금물 속 소금}) + (\text{10% 소금물 속 소금}) = (\text{8% 소금물 600g 속 소금})\)
$$ \frac{4}{100}x + \frac{10}{100}y = \frac{8}{100} \times 600 $$
양변에 100을 곱하여 정리하면:
$$ 4x + 10y = 4800 \text{ — (식 ②)} $$
- 연립방정식 풀기:(식 ①)에서 \(y = 600 – x\)를 (식 ②)에 대입:
$$ 4x + 10(600 – x) = 4800 $$
$$ 4x + 6000 – 10x = 4800 $$
$$ -6x = 4800 – 6000 $$
$$ -6x = -1200 $$
$$ x = \frac{-1200}{-6} = 200 $$
\(x=200\)을 (식 ①)에 대입: \(200 + y = 600 \implies y = 400\)
- 답 구하기 및 확인:4% 소금물은 200g, 10% 소금물은 400g을 섞어야 합니다.
확인: 총 소금물의 양 \(200+400=600\)g.
총 소금의 양 \((\frac{4}{100}\times 200) + (\frac{10}{100}\times 400) = 8 + 40 = 48\)g.
섞은 후 농도 \(\frac{48}{600} \times 100 = \frac{48}{6} = 8\%\). (모두 일치)
답: 4% 소금물 200g, 10% 소금물 400g
✅ 예제 2: 물을 더 넣어 농도 조절하기 (소금의 양 일정)
문제: 15%의 설탕물 400g이 있다. 여기에 물을 몇 g 더 넣으면 10%의 설탕물이 되겠는가? (설탕물도 소금물과 같은 원리로 계산)
풀이 과정:
- 미지수 설정: 더 넣은 물의 양을 \(x\) g이라고 합니다.
- 정보 정리 및 설탕의 양 계산:
상황 농도 (%) 설탕물의 양 (g) 설탕의 양 (g) 처음 15 400 \(\frac{15}{100} \times 400 = 60\) 나중 (물 \(x\)g 추가) 10 \(400 + x\) 60 (설탕의 양은 변하지 않음) - 방정식 세우기 (나중 농도 공식 또는 소금의 양 일정 이용):물을 더 넣어도 설탕의 양은 변하지 않으므로, 나중 설탕물에서도 설탕의 양은 60g입니다.
$$ (\text{나중 농도}) = \frac{(\text{나중 설탕의 양})}{(\text{나중 설탕물의 양})} \times 100 $$
$$ 10 = \frac{60}{400 + x} \times 100 $$
- 방정식 풀기:
$$ 10(400 + x) = 60 \times 100 $$
$$ 4000 + 10x = 6000 $$
$$ 10x = 6000 – 4000 $$
$$ 10x = 2000 $$
$$ x = 200 $$
- 답 구하기 및 확인:더 넣은 물의 양 \(x\)는 200g입니다.
확인: 나중 설탕물의 양 \(400 + 200 = 600\)g. 설탕의 양은 60g.
나중 농도 \(\frac{60}{600} \times 100 = \frac{1}{10} \times 100 = 10\%\). (문제 조건과 일치)
답: 200 g의 물을 더 넣으면 된다.
💡 마무리 정리:
- 농도 문제의 가장 중요한 해결 전략은 “소금(용질)의 양”에 주목하는 것입니다. 소금물의 양이 변하거나 두 소금물을 섞더라도 소금의 양은 보존되거나 그 변화를 추적할 수 있습니다.
- 농도, 소금의 양, 소금물의 양 사이의 세 가지 기본 공식을 정확히 이해하고 자유롭게 변환하여 사용할 수 있어야 합니다.
- 문제의 상황을 표나 비커 그림으로 정리하면 각 요소의 변화를 파악하고 식을 세우는 데 매우 유용합니다.
- 두 종류의 소금물을 섞는 경우, (소금물의 양의 합)과 (소금의 양의 합)이라는 두 가지 관계식을 이용하여 연립방정식을 세우는 것이 일반적입니다.