소금물의 농도 구하기 – 농도에 대한 문제 – 중2 수학 연립방정식 활용

📘 개념 이해: “소금물의 농도 구하기”란?

“소금물의 농도 구하기” 문제는 여러 종류의 소금물을 섞거나, 물 또는 소금을 추가/제거하는 다양한 상황에서 처음 소금물들의 농도 또는 변화 후 최종 소금물의 농도를 구하는 유형입니다.

이 유형의 문제는 보통 두 가지 이상의 상황이나 조건이 주어지며, 이를 통해 연립방정식을 세워 해결하는 경우가 많습니다.

핵심 원리는 이전 농도 문제와 동일하게, 소금의 양은 변하지 않거나 그 변화를 정확히 추적할 수 있다는 점, 그리고 전체 소금물의 양과 전체 소금의 양이 각 부분의 합과 같다는 점입니다.

💡 농도가 다른 두 소금물을 섞을 때의 연립방정식

농도가 다른 두 소금물 A, B를 서로 다른 비율로 섞어 새로운 소금물을 만드는 두 가지 상황이 주어질 때, 각 소금물의 처음 농도를 구하기 위해 연립방정식을 세울 수 있습니다.

이때 핵심은 “소금의 양은 변하지 않음을 이용하여 연립방정식을 세운다”는 것입니다.

💡 문제 풀이 단계 (소금물의 농도 구하기)

1. 문제 분석 및 정보 정리: 등장하는 각 소금물의 정보(양, 농도 – 미지수 포함)를 파악하고, 두 가지 이상의 다른 혼합 상황이나 조건이 주어지는지 확인합니다.
2. 미지수 설정: 구하고자 하는 각 소금물의 처음 농도를 미지수 \(x\%\), \(y\%\) 등으로 설정합니다.
3. 각 상황에서 소금의 양 표현: \(\text{소금의 양} = \frac{\text{농도}}{100} \times \text{소금물의 양}\) 공식을 사용하여, 각 혼합 상황에서 각 소금물에 포함된 소금의 양과 최종 혼합물의 소금의 양을 미지수를 포함한 식으로 나타냅니다.
4. 연립방정식 세우기: 주어진 각 혼합 상황에 대해 (A의 소금량) + (B의 소금량) = (최종 혼합물의 소금량)의 형태로 방정식을 세웁니다. 이렇게 얻어진 두 개(또는 그 이상)의 방정식을 연립하여 풉니다.
5. 방정식 풀기: 세운 연립방정식을 풀어 미지수 \(x, y\)의 값을 구합니다.
6. 답 구하기 및 확인: 구한 농도 값이 문제의 조건(예: 0보다 크고 100보다 작은지)에 맞는지 확인하고, 최종 답을 작성합니다.

✅ 예제 1: 두 종류의 소금물을 다른 비율로 섞어 농도 구하기

문제: 농도가 다른 두 소금물 P, Q가 있다. 소금물 P 300g과 소금물 Q 200g을 섞으면 9%의 소금물이 되고, 소금물 P 100g과 소금물 Q 400g을 섞으면 12%의 소금물이 된다. 두 소금물 P, Q의 농도는 각각 몇 %인가?

풀이 과정:

• 미지수 설정:
  • 소금물 P의 농도를 \(x\%\)
  • 소금물 Q의 농도를 \(y\%\)
• 방정식 세우기 (각 상황별 소금의 양 기준):상황 1: P 300g (\(x\%\)) + Q 200g (\(y\%\)) \(\rightarrow\) 9% 소금물 (300+200=500g)

  $$ \frac{x}{100} \times 300 + \frac{y}{100} \times 200 = \frac{9}{100} \times 500 $$

  양변에 100을 곱하고 100으로 나누어 정리:

  $$ 3x + 2y = 45 \text{ — (식 ①)} $$

  ---

  상황 2: P 100g (\(x\%\)) + Q 400g (\(y\%\)) \(\rightarrow\) 12% 소금물 (100+400=500g)

  $$ \frac{x}{100} \times 100 + \frac{y}{100} \times 400 = \frac{12}{100} \times 500 $$

  양변에 100을 곱하고 100으로 나누어 정리:

  $$ x + 4y = 60 \text{ — (식 ②)} $$

• 연립방정식 풀기:(식 ②)에서 \(x = 60 – 4y\)를 (식 ①)에 대입:

  $$ 3(60 – 4y) + 2y = 45 $$

  $$ 180 – 12y + 2y = 45 $$

  $$ 180 – 10y = 45 $$

  $$ 180 – 45 = 10y $$

  $$ 135 = 10y \implies y = 13.5 $$

  \(y=13.5\)를 (식 ②)의 \(x = 60 – 4y\)에 대입:

  $$ x = 60 – 4(13.5) = 60 – 54 = 6 $$

• 답 구하기 및 확인:소금물 P의 농도는 6%, 소금물 Q의 농도는 13.5%입니다.확인 (상황 1): P 소금(6% of 300g) = 18g. Q 소금(13.5% of 200g) = 27g. 총 소금 45g. 총 소금물 500g. \(\frac{45}{500} \times 100 = 9\%\). (일치)

답: 소금물 P의 농도는 6%, 소금물 Q의 농도는 13.5%이다.

✅ 예제 2: 소금물과 물/소금을 섞어 농도 구하기

문제: 농도가 다른 두 소금물 C, D가 있다. 소금물 C 100g과 소금물 D 100g을 섞으면 10%의 소금물이 되고, 소금물 C 200g과 소금물 D 100g을 섞으면 8%의 소금물이 된다. 두 소금물 C, D의 농도를 각각 구하시오.

풀이 과정:

• 미지수 설정:
  • 소금물 C의 농도를 \(x\%\)
  • 소금물 D의 농도를 \(y\%\)
• 방정식 세우기 (각 상황별 소금의 양 기준):상황 1: C 100g (\(x\%\)) + D 100g (\(y\%\)) \(\rightarrow\) 10% 소금물 (100+100=200g)

  $$ \frac{x}{100}(100) + \frac{y}{100}(100) = \frac{10}{100}(200) $$

  양변에 100을 곱하면:

  $$ 100x + 100y = 2000 \implies x + y = 20 \text{ — (식 A)} $$

  ---

  상황 2: C 200g (\(x\%\)) + D 100g (\(y\%\)) \(\rightarrow\) 8% 소금물 (200+100=300g)

  $$ \frac{x}{100}(200) + \frac{y}{100}(100) = \frac{8}{100}(300) $$

  양변에 100을 곱하면:

  $$ 200x + 100y = 2400 \implies 2x + y = 24 \text{ — (식 B)} $$

• 연립방정식 풀기:(식 B)에서 (식 A)를 빼면:

  $$ (2x + y) – (x + y) = 24 – 20 $$

  $$ x = 4 $$

  \(x=4\)를 (식 A)에 대입:

  $$ 4 + y = 20 \implies y = 16 $$

• 답 구하기 및 확인:소금물 C의 농도는 4%, 소금물 D의 농도는 16%입니다.확인 (상황 1): C 소금(4% of 100g) = 4g. D 소금(16% of 100g) = 16g. 총 소금 20g. 총 소금물 200g. \(\frac{20}{200} \times 100 = 10\%\). (일치)

  확인 (상황 2): C 소금(4% of 200g) = 8g. D 소금(16% of 100g) = 16g. 총 소금 24g. 총 소금물 300g. \(\frac{24}{300} \times 100 = 8\%\). (일치)

답: 소금물 C의 농도는 4%, 소금물 D의 농도는 16%이다.