사인법칙 공식
$$ \triangle ABC \text{에서 외접원의 반지름의 길이를 } R \text{이라 하면,} $$
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$
(여기서 \(a, b, c\)는 각각 각 \(A, B, C\)의 대변의 길이입니다.)
사인법칙은 다음과 같은 경우에 주로 활용됩니다:
- (1) 한 변의 길이와 양 끝 각(또는 두 각)의 크기를 알 때:
나머지 변들의 길이를 구할 수 있습니다. (세 각의 합은 180°이므로 두 각을 알면 나머지 한 각도 알 수 있습니다.)
- (2) 두 변의 길이와 그 끼인각이 아닌 한 각의 크기를 알 때:
다른 각의 크기를 구할 수 있습니다. (단, 이때 각이 두 개 존재할 수도 있음에 유의해야 합니다.)
이 페이지에서는 주로 \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\) 관계를 이용하여 각과 변 사이의 관계를 다룹니다.
💡 문제 풀이 단계 (사인법칙 이용)
- 주어진 조건 확인:문제에서 주어진 삼각형의 변의 길이와 각의 크기를 정확히 파악합니다. (예: 변 \(a\), 각 \(A\), 각 \(B\) 등)
- 구하려는 값 설정:문제에서 무엇을 구해야 하는지 명확히 합니다. (예: 변 \(b\)의 길이, 각 \(C\)의 크기 등)
- 사인법칙 적용:알고 있는 값들과 구하려는 값을 포함하는 사인법칙의 일부를 선택하여 식을 세웁니다.
예: \(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}\) 또는 \(\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\) 등. - 방정식 풀기:세운 식에 알고 있는 값들을 대입하고, 미지수에 대해 방정식을 풉니다. 삼각비 값(특수각의 사인 값 등)을 정확히 계산해야 합니다.
- (필요시) 각의 크기 결정:만약 \(\sin X = k\) 형태로 값이 나왔다면, 이를 만족하는 각 \(X\)를 찾습니다. 삼각형의 내각은 \(0^\circ < X < 180^\circ\) 범위에 있으며, 문제의 조건(예각, 둔각 등)을 고려하여 각을 결정합니다.
✅ 예제 1: 한 변과 두 각을 알 때 다른 변의 길이 구하기
문제: \(\triangle ABC\)에서 \(A=45^\circ, B=60^\circ, a=6\)일 때, 변 \(b\)의 길이를 구하시오.
풀이 과정:
1. 주어진 조건 확인: \(A=45^\circ, B=60^\circ, a=6\)
2. 구하려는 값 설정: 변 \(b\)의 길이
3. 사인법칙 적용:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $$
4. 방정식 풀기:
$$ \frac{6}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ} $$
여기서 \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\)이므로 대입하면,
$$ \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} $$
$$ 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = b \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} $$
$$ \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{2b}{\sqrt{3}} \implies 6\sqrt{2} = \frac{2b}{\sqrt{3}} $$
$$ 2b = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{6} $$
$$ b = 3\sqrt{6} $$
답: \(b = 3\sqrt{6}\)
✅ 예제 2: 두 변과 한 각(끼인각 아님)을 알 때 다른 각의 크기 구하기
문제: \(\triangle ABC\)에서 \(a=2\sqrt{2}, b=2, A=135^\circ\)일 때, 각 \(B\)의 크기를 구하시오. (단, \(B\)는 예각이다.)
풀이 과정:
1. 주어진 조건 확인: \(a=2\sqrt{2}, b=2, A=135^\circ\)
2. 구하려는 값 설정: 각 \(B\)의 크기
3. 사인법칙 적용:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} $$
4. 방정식 풀기:
\(\sin 135^\circ = \sin (180^\circ – 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)이므로,
$$ \frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{\sin B} $$
$$ 2\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sin B} $$
$$ 4 = \frac{2}{\sin B} $$
$$ 4 \sin B = 2 \implies \sin B = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
5. 각의 크기 결정:
\(\sin B = \frac{1}{2}\)이고, \(B\)는 예각(\(0^\circ < B < 90^\circ\))이므로,
$$ B = 30^\circ $$
답: \(B = 30^\circ\)
✅ 예제 3: 유사한 조건에서 다른 각 구하기
문제: \(\triangle ABC\)에서 \(b=4, c=4\sqrt{3}, B=30^\circ\)일 때, 각 \(C\)의 크기를 구하시오. (단, \(C\)는 예각이다.)
풀이 과정:
1. 주어진 조건 확인: \(b=4, c=4\sqrt{3}, B=30^\circ\)
2. 구하려는 값 설정: 각 \(C\)의 크기
3. 사인법칙 적용:
$$ \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$
4. 방정식 풀기:
\(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)이므로,
$$ \frac{4}{\frac{1}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin C} $$
$$ 4 \cdot 2 = \frac{4\sqrt{3}}{\sin C} $$
$$ 8 = \frac{4\sqrt{3}}{\sin C} $$
$$ 8 \sin C = 4\sqrt{3} \implies \sin C = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
5. 각의 크기 결정:
\(\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}\)이고, \(C\)는 예각(\(0^\circ < C < 90^\circ\))이므로,
$$ C = 60^\circ $$
답: \(C = 60^\circ\)
사인법칙 – 각과 변의 관계 – 고2 수학 개념 및 대표 유형 문제 풀이
💡 마무리 정리 및 주의사항:
- 사인법칙은 마주보는 각과 변의 쌍에 대한 관계식이므로, 어떤 쌍이 주어졌고 어떤 값을 구해야 하는지 파악하는 것이 중요합니다.
- 특수각(\(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 90^\circ, 120^\circ, 135^\circ, 150^\circ\) 등)의 사인 값을 정확히 알고 있어야 계산이 편리합니다.
- \(\sin X = k\) (단, \(0 < k < 1\))를 만족하는 각 \(X\)는 삼각형의 내각 범위(\(0^\circ < X < 180^\circ\))에서 두 개 존재할 수 있습니다 (예각 \(X_1\)과 둔각 \(X_2 = 180^\circ – X_1\)). 문제에서 주어진 조건(예: ‘C는 예각이다’, ‘삼각형의 모양’ 등)을 잘 활용하여 적절한 각을 선택해야 합니다. 만약 조건이 없다면 두 가지 경우를 모두 고려해야 할 수도 있습니다.
- 세 각의 합은 항상 \(180^\circ\) (\(A+B+C=180^\circ\))임을 이용하여 다른 각을 먼저 구하고 사인법칙을 적용할 수도 있습니다.