비율에 대한 문제

📘 개념 이해: “비율에 대한 문제”란?

“비율에 대한 문제”는 전체 집단을 구성하는 여러 부분 집단 사이의 수량적 관계를 비(ratio) 또는 비율(proportion/percentage)로 나타내고, 이를 이용하여 각 부분 집단의 실제 개수나 전체 개수를 구하는 유형입니다. 예를 들어, 남녀 학생 수의 비, 합격자와 불합격자의 비, 특정 성분을 포함하는 비율 등이 문제에 등장합니다.

핵심은 주어진 비를 이용하여 각 부분의 실제 개수를 미지수를 사용해 표현하고, 문제에서 주어진 다른 조건(총합, 차이, 또 다른 비 등)과 연결하여 방정식을 세우는 것입니다.

💡 방정식 세우기 전략

이미지의 대표 문제는 여러 그룹(지원자, 합격자, 불합격자)과 각 그룹 내의 하위 그룹(남, 여)의 비율이 복합적으로 주어지는 상황입니다. 이러한 문제는 각 그룹의 전체 인원수와 그 안의 구성원 수를 연결하여 방정식을 세웁니다.

💡 문제 풀이 단계 (비율 문제)

1. 문제 분석 및 정보 정리: 관련된 각 그룹(예: 전체, 합격자, 불합격자 등)과 각 그룹 내의 구성 비율(예: 남녀의 비)을 정확히 파악합니다.
2. 미지수 설정:
   • 문제에서 구하고자 하는 값 또는 식을 세우기 편리한 값을 미지수로 설정합니다. 비율이 \(m:n\)으로 주어지면, 실제 수를 \(mk, nk\) (비례상수 \(k\) 사용) 또는 한쪽을 \(x\)로 두고 다른 쪽을 비를 이용하여 표현합니다.
   • 여러 그룹의 전체 수나 구성원 수를 미지수로 설정할 수 있습니다 (예: 전체 지원자 남자를 \(5a\), 여자를 \(3a\); 합격자 남자를 \(3b\), 여자를 \(2b\)).
3. 각 부분의 실제 개수 표현: 설정한 미지수와 주어진 비율을 이용하여 각 그룹의 총 인원수 및 그룹 내 각 구성원의 실제 개수를 식으로 나타냅니다.
4. 방정식 세우기: 위에서 설명한 “전체와 부분의 관계”, “각 그룹 내 구성원의 합”, “부분들의 합은 전체의 해당 부분과 같다” 등의 원리를 이용하여 방정식을 세웁니다. 보통 연립방정식이 만들어집니다.
5. 방정식 풀기: 세운 연립방정식을 풀어 미지수의 값을 구합니다.
6. 답 구하기 및 확인: 구한 값이 문제의 조건(예: 사람 수는 자연수, 비율에 부합하는지)에 맞는지 확인하고, 최종 답을 작성합니다.

✅ 예제 1: 학교 남녀 학생 수의 비

문제: 어느 중학교의 작년 전체 학생 수는 560명이었고, 남학생과 여학생 수의 비는 3:4였다. 올해는 남학생 수가 몇 명 전학을 와서 남녀 학생 수의 비가 5:4가 되었고, 여학생 수는 변동이 없었다. 올해 전학 온 남학생은 몇 명인가?

풀이 과정:

• 작년 학생 수 계산:
  • 작년 남녀 학생 수의 비가 3:4이므로, 전체를 \(3k + 4k = 7k\)로 볼 수 있습니다.
  • \(7k = 560 \implies k = 80\)
  • 작년 남학생 수: \(3k = 3 \times 80 = 240\)명
  • 작년 여학생 수: \(4k = 4 \times 80 = 320\)명
• 올해 상황 및 미지수 설정:
  • 올해 전학 온 남학생 수를 \(x\)명이라고 합니다.
  • 올해 여학생 수는 변동이 없으므로 320명입니다.
  • 올해 남학생 수는 \((240 + x)\)명입니다.
  • 올해 남학생과 여학생 수의 비는 5:4입니다.
• 방정식 세우기 (올해 남녀 비율 이용):

  $$ (240 + x) : 320 = 5 : 4 $$

  비례식이므로 내항의 곱과 외항의 곱은 같습니다:

  $$ 4(240 + x) = 320 \times 5 $$

• 방정식 풀기:

  $$ 960 + 4x = 1600 $$

  $$ 4x = 1600 – 960 $$

  $$ 4x = 640 $$

  $$ x = \frac{640}{4} = 160 $$

• 답 구하기 및 확인:올해 전학 온 남학생 수 \(x\)는 160명입니다.확인:
  • 올해 남학생 수: \(240 + 160 = 400\)명
  • 올해 여학생 수: 320명
  • 올해 남녀 비: \(400 : 320\). 양변을 80으로 나누면 \(5 : 4\). (문제 조건과 일치)

답: 올해 전학 온 남학생은 160명이다.

✅ 예제 2: 합금 문제 (비율과 총량)

문제: 구리와 아연을 2:3의 비율로 포함하는 합금 A와 구리와 아연을 3:7의 비율로 포함하는 합금 B가 있다. 두 합금 A, B를 녹여서 구리 30kg, 아연 50kg을 포함하는 새로운 합금을 만들려고 한다. 이때 필요한 합금 A의 양은 몇 kg인가?

풀이 과정:

• 미지수 설정:
  • 필요한 합금 A의 양을 \(x\) kg
  • 필요한 합금 B의 양을 \(y\) kg
• 각 합금에 포함된 구리와 아연의 양 표현:
  • 합금 A (\(x\) kg) 중:
    • 구리의 양: \(x \times \frac{2}{2+3} = \frac{2}{5}x\) kg
    • 아연의 양: \(x \times \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}x\) kg
  • 합금 B (\(y\) kg) 중:
    • 구리의 양: \(y \times \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10}y\) kg
    • 아연의 양: \(y \times \frac{7}{3+7} = \frac{7}{10}y\) kg
• 연립방정식 세우기 (총 구리의 양, 총 아연의 양 기준):1. 총 구리의 양:

  $$ \frac{2}{5}x + \frac{3}{10}y = 30 \text{ — (식 ①)} $$

  2. 총 아연의 양:

  $$ \frac{3}{5}x + \frac{7}{10}y = 50 \text{ — (식 ②)} $$

• 연립방정식 풀기:(식 ①) \(\times 10\): \(4x + 3y = 300\) — (식 A)(식 ②) \(\times 10\): \(6x + 7y = 500\) — (식 B)

  (식 A) \(\times 3\): \(12x + 9y = 900\)

  (식 B) \(\times 2\): \(12x + 14y = 1000\)

  아래 식에서 위 식을 빼면: \((12x + 14y) – (12x + 9y) = 1000 – 900\)

  $$ 5y = 100 \implies y = 20 $$

  \(y=20\)을 (식 A)에 대입: \(4x + 3(20) = 300 \implies 4x + 60 = 300 \implies 4x = 240 \implies x = 60\)

• 답 구하기 및 확인:필요한 합금 A의 양 \(x\)는 60kg, 합금 B의 양 \(y\)는 20kg입니다.문제에서는 합금 A의 양을 물었습니다.

  확인:

  • 총 구리: \((\frac{2}{5} \times 60) + (\frac{3}{10} \times 20) = 24 + 6 = 30\)kg (일치)
  • 총 아연: \((\frac{3}{5} \times 60) + (\frac{7}{10} \times 20) = 36 + 14 = 50\)kg (일치)

답: 필요한 합금 A의 양은 60 kg이다.