🔑 핵심 공식
세 수 \(a, b, c\)가 이 순서대로 등차수열을 이루면,
$$ b – a = c – b $$
양변에 \(a+b\)를 더하거나 식을 정리하면 다음을 얻습니다:
$$ 2b = a + c $$
또는, \(b\)에 대해 풀면:
$$ b = \frac{a+c}{2} $$
이것이 등차중항의 기본 공식입니다. 즉, 가운데 항의 두 배는 양쪽 항의 합과 같다는 것입니다.
💡 등차중항 활용 전략
등차중항의 성질은 세 수가 등차수열을 이룬다는 조건이 주어졌을 때, 미지수를 포함한 식을 세우거나 항들 사이의 관계를 파악하는 데 유용하게 사용됩니다.
등차중항 적용 방법1. 조건 확인: 문제에서 “세 수 \(A, B, C\)가 이 순서대로 등차수열을 이룬다” 또는 이와 유사한 표현이 있는지 확인합니다.
2. 등차중항 공식 적용: 확인된 세 수를 \(a, b, c\)로 간주하고 (여기서는 \(A, B, C\)) 등차중항 공식을 적용합니다.
$$ 2B = A + C \quad \text{또는} \quad B = \frac{A+C}{2} $$
3. 방정식 풀이: 만약 \(A, B, C\)가 미지수(예: \(x\))를 포함한 식이라면, 위 등차중항 관계식은 \(x\)에 대한 방정식이 됩니다. 이 방정식을 풀어 \(x\)의 값을 구합니다.
4. 여러 개의 등차중항 관계: 네 개 이상의 수가 등차수열을 이룰 경우, 연속된 세 항을 선택하여 등차중항 관계를 여러 번 적용할 수 있습니다. 예를 들어 \(a_1, a_2, a_3, a_4\)가 등차수열이면, \(2a_2 = a_1+a_3\) 이고 \(2a_3 = a_2+a_4\) 입니다.
등차중항은 특히 세 항만 주어지고 그 관계를 통해 미지수를 찾거나 수열의 특정 성질을 증명할 때 매우 강력한 도구입니다. 예를 들어 “세 근이 등차수열을 이룬다”는 조건이 있는 삼차방정식 문제에서 등차중항을 활용하여 근을 설정(\(a-d, a, a+d\))하고 근과 계수의 관계를 이용할 수 있습니다.
등차수열의 일반항 \(a_n = a+(n-1)d\)에서도 \(a_n\)은 \(a_{n-1}\)과 \(a_{n+1}\)의 등차중항입니다: \(a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\).
💡 문제 풀이 단계 (등차중항 활용)
- 등차수열을 이루는 세 항 특정: 문제에서 어떤 세 항(또는 식)이 순서대로 등차수열을 이루는지 정확히 파악합니다.
- 등차중항 관계식 작성: 파악된 세 항을 각각 \(A, B, C\)라고 할 때, \(2B = A+C\)의 형태로 관계식을 세웁니다.
- 방정식으로 변환 및 풀이:
- 세 항이 미지수를 포함한 식으로 주어졌다면, 등차중항 관계식은 해당 미지수에 대한 방정식이 됩니다.
- 이 방정식을 풀어 미지수의 값을 구합니다. 이차방정식 등이 나올 수 있으며, 모든 해가 문제의 조건을 만족하는지 확인해야 할 수도 있습니다.
- 구한 값으로 수열 확인 (선택 사항): 구한 미지수 값을 원래 식에 대입하여 실제 세 수가 등차수열을 이루는지, 공차가 일정한지 확인해 볼 수 있습니다.
- 최종 답 구하기: 문제에서 요구하는 값을 정확히 답합니다.
✅ 예제 1: 미지수를 포함한 세 식
문제: 세 수 \(x\), \(2x+3\), \(5x-1\)이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, \(x\)의 값을 구하시오.
풀이 과정:
- 등차수열을 이루는 세 항: \(A=x\), \(B=2x+3\), \(C=5x-1\)
- 등차중항 관계식 작성: \(2B = A+C\)
$$ 2(2x+3) = x + (5x-1) $$
- 방정식 풀이:
$$ 4x+6 = 6x-1 $$
$$ 6+1 = 6x-4x $$
$$ 7 = 2x $$
$$ x = \frac{7}{2} $$
- 확인 (선택): \(x = \frac{7}{2}\)을 대입하면 세 수는 \(\frac{7}{2}, 2(\frac{7}{2})+3 = 7+3=10, 5(\frac{7}{2})-1 = \frac{35}{2}-1 = \frac{33}{2}\).\(10 – \frac{7}{2} = \frac{20-7}{2} = \frac{13}{2}\)\(\frac{33}{2} – 10 = \frac{33-20}{2} = \frac{13}{2}\). 공차가 \(\frac{13}{2}\)로 일정하므로 등차수열을 이룬다.
답: \(x = \frac{7}{2}\)
✅ 예제 2: 이차식을 포함한 세 항
문제: 세 수 \(1\), \(a^2\), \(5a-4\)가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 모든 실수 \(a\)의 값의 합을 구하시오.
풀이 과정:
- 등차수열을 이루는 세 항: \(A=1\), \(B=a^2\), \(C=5a-4\)
- 등차중항 관계식 작성: \(2B = A+C\)
$$ 2(a^2) = 1 + (5a-4) $$
- 방정식 풀이:
$$ 2a^2 = 5a – 3 $$
$$ 2a^2 – 5a + 3 = 0 $$
이차방정식을 인수분해합니다:
$$ (2a-3)(a-1) = 0 $$
따라서 \(a = \frac{3}{2}\) 또는 \(a = 1\) 입니다.
- 모든 \(a\)의 값의 합:
$$ \frac{3}{2} + 1 = \frac{3+2}{2} = \frac{5}{2} $$
(또는 이차방정식 \(2a^2 – 5a + 3 = 0\)의 근과 계수의 관계에서 두 근의 합은 \(-\frac{-5}{2} = \frac{5}{2}\))
답: 모든 실수 \(a\)의 값의 합은 \(\frac{5}{2}\)
✅ 예제 3: 등차수열의 특정 항들 사이 관계
문제: 등차수열 \(\{a_n\}\)에서 \(a_3, a_7, a_{11}\)이 이 순서대로 또 다른 등차수열을 이룬다고 한다. 이때 \(a_7\)의 값을 구하시오. (단, 문제의 조건만으로는 특정 값을 구할 수 없으므로, “이루는 것이 항상 성립함을 보이시오” 또는 “특별한 조건이 추가되어야 함”을 설명하는 방식으로 변경 가능. 여기서는 이미 등차수열의 항들이므로 \(a_7\)이 \(a_3, a_{11}\)의 등차중항임을 확인하는 문제로 해석.)
수정된 문제: 등차수열 \(\{a_n\}\)의 세 항 \(a_k, a_m, a_p\) (\(k < m < p\))가 순서대로 등차수열을 이룬다면, \(m\)은 \(k\)와 \(p\)의 등차중항임을, 즉 \(2m = k+p\)가 성립할 때 등차수열 \(\{a_k, a_m, a_p\}\)의 등차중항 관계가 성립함을 확인하시오.
풀이 과정:
- 등차수열의 항 표현: 첫째항을 \(A\), 공차를 \(D\)라 하면,
- \(a_k = A + (k-1)D\)
- \(a_m = A + (m-1)D\)
- \(a_p = A + (p-1)D\)
- 등차중항 관계식 확인: \(a_k, a_m, a_p\)가 등차수열을 이루므로, \(2a_m = a_k + a_p\)가 성립해야 합니다.
$$ 2(A + (m-1)D) = (A + (k-1)D) + (A + (p-1)D) $$
$$ 2A + 2(m-1)D = 2A + (k-1+p-1)D $$
양변에서 \(2A\)를 소거하고 \(D \neq 0\)이라고 가정하면 (또는 \(D=0\)이면 자명하게 성립),
$$ 2(m-1) = k+p-2 $$
$$ 2m-2 = k+p-2 $$
$$ 2m = k+p $$
- 결론:따라서, 등차수열의 세 항 \(a_k, a_m, a_p\)가 그 순서대로 등차수열을 이루기 위한 조건은 항 번호 \(k, m, p\)가 그 순서대로 등차수열을 이루는 것, 즉 \(m\)이 \(k\)와 \(p\)의 산술평균(\(m = \frac{k+p}{2}\))일 때입니다. 문제에서 \(a_3, a_7, a_{11}\)의 경우, \(3, 7, 11\)은 공차가 4인 등차수열이므로 (\(2 \times 7 = 3+11\)), \(a_3, a_7, a_{11}\)은 원래 등차수열의 일부로서 당연히 등차수열을 이룹니다. \(a_7\)은 \(a_3\)과 \(a_{11}\)의 등차중항입니다.
답: \(a_k, a_m, a_p\)가 등차수열을 이루면, 항 번호 \(k,m,p\)도 등차수열을 이룬다. (\(2m = k+p\)). 따라서 \(a_7\)은 \(a_3\)과 \(a_{11}\)의 등차중항이다.
💡 마무리 정리:
- 세 수 \(A, B, C\)가 순서대로 등차수열을 이룬다는 조건은 \(2B = A+C\) 라는 강력한 관계식을 제공합니다.
- 이 관계는 가운데 항 \(B\)가 양 옆 항 \(A, C\)의 산술평균 (\(B = \frac{A+C}{2}\))임을 의미합니다.
- 등차중항은 미지수를 포함하는 항들이 등차수열을 이룰 때 방정식을 세우는 데 매우 유용합니다.
- 등차수열의 어떤 세 항 \(a_p, a_q, a_r\)이 주어졌을 때, 이들이 등차수열을 이룬다면 항 번호 \(p, q, r\) 또한 등차수열을 이룹니다. (즉, \(2q = p+r\))