📘 개념 이해: “등차수열”이란?
등차수열(Arithmetic Sequence)은 이웃하는 두 항의 차이가 일정한 수열을 말합니다.
즉, 첫째항부터 차례로 일정한 수를 더하여 얻어지는 수열입니다. 이때 더하는 일정한 수를 공차(common difference)라고 하며, 보통 \(d\)로 나타냅니다.
수열의 각 항 중에서 \(n\)번째 항을 나타내는 식을 일반항(\(a_n\))이라고 합니다.
예를 들어, 수열 2, 5, 8, 11, 14, …는 첫째항이 2이고, 각 항에 3을 더하여 다음 항을 얻으므로 공차가 3인 등차수열입니다.
🔑 핵심 공식 및 원칙
- (1) 첫째항이 \(a\), 공차가 \(d\)인 등차수열의 일반항 \(a_n\):
$$ a_n = a + (n-1)d $$
(단, \(n=1, 2, 3, \dots\))
여기서 \(a\)는 첫째항(\(a_1\))을 의미합니다.
- (2) 등차수열 \(\{a_n\}\)의 공차 \(d\):공차는 이웃하는 두 항의 차이로, 뒤 항에서 앞 항을 뺀 값입니다.
$$ d = a_{n+1} – a_n = a_2 – a_1 = a_3 – a_2 = \dots $$
- (3) 등차수열의 일반항의 형태:일반항 \(a_n = a + (n-1)d\)를 \(n\)에 관하여 정리하면 \(a_n = dn + (a-d)\)가 됩니다.즉, 등차수열의 일반항은 \(n\)에 대한 일차식 \(a_n = Pn + Q\) 꼴로 표현됩니다. (여기서 \(P, Q\)는 상수)
- 이때 공차는 \(n\)의 계수인 \(P\)와 같습니다. (\(P=d\))
- 첫째항은 \(P+Q\)와 같습니다. (\(a_1 = P(1) + Q = P+Q\))
🎯 일반항 활용 전략
등차수열 문제는 주어진 정보를 바탕으로 첫째항(\(a\))과 공차(\(d\))를 찾아내거나, 이를 이용하여 특정 항의 값을 구하는 것이 일반적입니다.
일반항 공식 활용법1. 첫째항과 공차가 주어진 경우: 일반항 공식 \(a_n = a + (n-1)d\)에 직접 대입하여 원하는 항의 값을 구합니다.
2. 서로 다른 두 항의 값이 주어진 경우 (예: \(a_m = k\), \(a_p = l\)):
일반항 공식을 이용하여 두 개의 식을 세웁니다.
$$ a_m = a + (m-1)d = k $$
$$ a_p = a + (p-1)d = l $$
이 두 식을 \(a\)와 \(d\)에 대한 연립방정식으로 풀어 첫째항과 공차를 구합니다.
3. 일반항이 \(n\)에 대한 일차식으로 주어진 경우 (예: \(a_n = Pn + Q\)):
공차는 \(n\)의 계수인 \(P\)이고, 첫째항은 \(n=1\)을 대입한 값인 \(P+Q\)입니다.
공차 \(d\)는 \(m \neq p\)일 때, 두 항 \(a_m\)과 \(a_p\)를 이용하여 다음과 같이 구할 수도 있습니다.
$$ d = \frac{a_p – a_m}{p – m} $$
이는 \(a_p – a_m = (a + (p-1)d) – (a + (m-1)d) = (p-m)d\) 에서 유도됩니다. 이 식을 활용하면 연립방정식 없이 공차를 바로 구할 수 있어 편리합니다.
💡 문제 풀이 단계 (등차수열 일반항)
- 문제 조건 분석 및 미지수 파악:
- 주어진 정보 (첫째항, 공차, 특정 항의 값 등)를 정리합니다.
- 구해야 하는 것이 무엇인지 (일반항, 특정 항의 값, 첫째항, 공차 등) 명확히 합니다.
- 일반항 공식 적용:
- 첫째항을 \(a\), 공차를 \(d\)로 놓고, 일반항 공식 \(a_n = a + (n-1)d\)를 기본으로 사용합니다.
- 방정식 세우기 및 풀이:
- 주어진 조건으로부터 \(a\)와 \(d\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- 필요시 연립방정식을 풀어 \(a\)와 \(d\)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 \(a\)와 \(d\)를 이용하여 문제에서 요구하는 답을 계산합니다.
- 가능하다면 몇 개의 항을 직접 계산하여 문제의 조건과 일치하는지 검토합니다.
✅ 예제 1: 첫째항과 공차가 주어진 경우
문제: 첫째항이 7이고 공차가 -4인 등차수열 \(\{a_n\}\)에서 제8항의 값을 구하시오.
풀이 과정:
- 주어진 정보:
- 첫째항 \(a = 7\)
- 공차 \(d = -4\)
- 구하는 값: 제8항 \(a_8\)
- 일반항 공식 적용:
$$ a_n = a + (n-1)d $$
제8항이므로 \(n=8\)을 대입합니다.
$$ a_8 = 7 + (8-1)(-4) $$
- 계산:
$$ a_8 = 7 + 7 \times (-4) $$
$$ a_8 = 7 – 28 $$
$$ a_8 = -21 $$
답: 제8항의 값은 -21이다.
✅ 예제 2: 서로 다른 두 항의 값이 주어진 경우
문제: 등차수열 \(\{a_n\}\)에서 제4항이 10이고 제10항이 28일 때, 이 수열의 일반항 \(a_n\)을 구하시오.
풀이 과정:
- 주어진 정보:
- \(a_4 = 10\)
- \(a_{10} = 28\)
- 방정식 세우기: 첫째항을 \(a\), 공차를 \(d\)라 하면,
$$ a_4 = a + (4-1)d = a + 3d = 10 \quad \cdots ① $$
$$ a_{10} = a + (10-1)d = a + 9d = 28 \quad \cdots ② $$
- 연립방정식 풀기: 식 ②에서 식 ①을 빼면,
$$ (a + 9d) – (a + 3d) = 28 – 10 $$
$$ 6d = 18 $$
$$ d = 3 $$
공차 \(d=3\)을 식 ①에 대입하면,
$$ a + 3(3) = 10 $$
$$ a + 9 = 10 $$
$$ a = 1 $$
- 일반항 구하기: 첫째항 \(a=1\), 공차 \(d=3\)이므로,
$$ a_n = a + (n-1)d = 1 + (n-1)3 $$
$$ a_n = 1 + 3n – 3 $$
$$ a_n = 3n – 2 $$
답: 일반항 \(a_n = 3n – 2\)
✅ 예제 3: 일반항이 \(n\)에 대한 일차식으로 주어진 경우
문제: 등차수열 \(\{a_n\}\)의 일반항이 \(a_n = -5n + 12\)로 주어질 때, 이 수열의 첫째항과 공차를 구하시오.
풀이 과정:
- 주어진 정보:
- 일반항 \(a_n = -5n + 12\)
- 첫째항 구하기: 일반항에 \(n=1\)을 대입합니다.
$$ a_1 = -5(1) + 12 = -5 + 12 = 7 $$
- 공차 구하기 (방법 1: \(n\)의 계수):등차수열의 일반항 \(a_n = Pn + Q\)에서 공차는 \(n\)의 계수 \(P\)입니다.주어진 일반항 \(a_n = -5n + 12\)에서 \(n\)의 계수는 -5이므로, 공차 \(d = -5\)입니다.
- 공차 구하기 (방법 2: 두 항의 차이):\(a_2\)를 구합니다: \(a_2 = -5(2) + 12 = -10 + 12 = 2\)공차 \(d = a_2 – a_1 = 2 – 7 = -5\)
답: 첫째항은 7, 공차는 -5이다.
💡 마무리 정리:
- 등차수열의 핵심은 첫째항(\(a\))과 공차(\(d\))입니다. 이 두 가지만 알면 일반항을 포함한 모든 정보를 알 수 있습니다.
- 일반항 \(a_n = a + (n-1)d\)는 등차수열 문제 해결의 기본 도구입니다.
- 일반항이 \(a_n = Pn + Q\) 꼴로 주어지면, 공차는 \(P\), 첫째항은 \(P+Q\)임을 바로 파악할 수 있어야 합니다.
- 문제를 풀 때, 어떤 정보가 주어졌고 무엇을 구해야 하는지를 명확히 하는 것이 중요합니다.
항 사이의 관계가 주어진 등차수열 – 고등학교 수학 개념 이해