🔑 핵심 설정 방법
등차수열을 이루는 수의 개수에 따라 다음과 같이 설정하는 것이 일반적입니다:
- 세 수가 등차수열을 이룰 때:
$$ a-d, \quad a, \quad a+d $$
(이때, 세 수의 합은 \( (a-d) + a + (a+d) = 3a \) 가 되어 \(d\)가 소거됩니다.)
- 네 수가 등차수열을 이룰 때:
$$ a-3d, \quad a-d, \quad a+d, \quad a+3d $$
(이때, 공차는 \(2d\)로 설정한 것입니다. 네 수의 합은 \( (a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 4a \) 가 되어 \(d\)가 소거됩니다.)
- 다섯 수가 등차수열을 이룰 때:
$$ a-2d, \quad a-d, \quad a, \quad a+d, \quad a+2d $$
(이때, 다섯 수의 합은 \( (a-2d) + (a-d) + a + (a+d) + (a+2d) = 5a \) 가 되어 \(d\)가 소거됩니다.)
이처럼 수들을 대칭적으로 설정하면, 합을 계산할 때 공차 \(d\)가 사라져 기준 항 \(a\)를 쉽게 구할 수 있다는 큰 장점이 있습니다.
💡 수 설정 후 활용 전략
이렇게 설정된 수들은 문제의 다른 조건들과 결합되어 \(a\)와 \(d\)에 대한 연립방정식을 형성하게 됩니다.
문제 접근 방법
- 문제에서 등차수열을 이루는 수의 개수를 정확히 파악합니다.
- 위에서 제시된 방법 중 개수에 맞는 형태로 수들을 미지수 \(a\)와 \(d\)를 사용하여 설정합니다.
- 문제에서 주어진 다른 조건들(예: 수들의 합, 곱, 제곱의 합, 방정식의 근과 계수의 관계 등)을 이용하여 \(a\)와 \(d\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- 세워진 연립방정식을 풀어 \(a\)와 \(d\)의 값을 구합니다. (때로는 \(d^2\)의 값을 먼저 구하게 될 수도 있습니다.)
- 구해진 \(a\)와 \(d\)를 이용하여 실제 수들을 확정하거나, 문제에서 요구하는 다른 값을 계산합니다.
네 수 설정 시 유의점: 네 수가 등차수열을 이룰 때, 공차를 \(d’\)이라 하고 \(a’, a’+d’, a’+2d’, a’+3d’\)로 설정할 수도 있습니다. 하지만 합을 간단히 하기 위해 이미지에서처럼 공차를 \(2d\)로 보고 \(a-3d, a-d, a+d, a+3d\)로 설정하는 것이 일반적입니다. 이 경우, 실제로 이웃한 항 사이의 공차는 \( (a-d) – (a-3d) = 2d \)가 됩니다. 문제에서 “공차”가 언급될 때 이 점을 혼동하지 않도록 주의해야 합니다.
상황에 따라 어떤 설정이 더 유리할지 판단하는 유연성도 필요합니다. 하지만 대부분의 경우 대칭적인 설정이 계산을 간결하게 만듭니다.
💡 문제 풀이 단계 (등차수열을 이루는 수 설정)
- 등차수열을 이루는 수의 개수 파악: 문제의 조건을 통해 등차수열을 이루는 수가 몇 개인지 확인합니다.
- 대칭적 수 설정:
- 세 수: \(a-d, a, a+d\)
- 네 수: \(a-3d, a-d, a+d, a+3d\) (공차가 \(2d\)임에 유의)
- 다섯 수: \(a-2d, a-d, a, a+d, a+2d\)
- 방정식 수립: 문제에서 주어진 조건(합, 곱, 제곱의 합, 방정식의 근과 계수 관계 등)을 이용하여 설정된 수들로 방정식을 만듭니다.
- 방정식 풀이: \(a\)와 \(d\) (또는 \(d^2\))에 대한 방정식을 풀어 값을 구합니다. \(d\)는 양수 또는 음수 두 가지 경우가 나올 수 있으며, 문제의 조건에 따라 특정 부호만 해가 될 수도 있습니다.
- 답 구하기 및 확인: 구한 \(a, d\)를 바탕으로 실제 수들을 나열하거나 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 계산합니다. 해가 여러 쌍 나올 경우, 모든 해가 문제의 조건을 만족하는지 확인합니다.
✅ 예제 1: 등차수열을 이루는 세 수와 그 합/곱
문제: 등차수열을 이루는 세 수가 있다. 이 세 수의 합은 15이고, 세 수의 곱은 80이다. 이 세 수를 구하시오.
풀이 과정:
- 수 설정: 세 수를 \(a-d, a, a+d\)로 놓습니다.
- 합 조건 이용:
$$ (a-d) + a + (a+d) = 15 $$
$$ 3a = 15 \Rightarrow a = 5 $$
- 곱 조건 이용:
$$ (a-d) \cdot a \cdot (a+d) = 80 $$
여기에 \(a=5\)를 대입하면,
$$ (5-d) \cdot 5 \cdot (5+d) = 80 $$
$$ 5(25-d^2) = 80 $$
$$ 25-d^2 = 16 $$
$$ d^2 = 9 \Rightarrow d = \pm 3 $$
- 세 수 구하기:
- \(a=5, d=3\)일 때: 세 수는 \(5-3, 5, 5+3 \Rightarrow 2, 5, 8\)
- \(a=5, d=-3\)일 때: 세 수는 \(5-(-3), 5, 5+(-3) \Rightarrow 8, 5, 2\)
두 경우 모두 같은 세 수의 집합을 나타냅니다.
답: 세 수는 2, 5, 8이다.
✅ 예제 2: 등차수열을 이루는 네 수와 그 관계
문제: 네 개의 수로 이루어진 등차수열이 있다. 이 네 수의 합은 20이고, 양 끝 두 수의 곱은 중앙 두 수의 곱보다 32만큼 작다. 이 네 수를 구하시오.
풀이 과정:
- 수 설정: 네 수를 \(a-3d, a-d, a+d, a+3d\)로 놓습니다. (공차는 \(2d\))
- 합 조건 이용:
$$ (a-3d) + (a-d) + (a+d) + (a+3d) = 20 $$
$$ 4a = 20 \Rightarrow a = 5 $$
- 곱 조건 이용:
- 양 끝 두 수의 곱: \((a-3d)(a+3d) = a^2 – 9d^2\)
- 중앙 두 수의 곱: \((a-d)(a+d) = a^2 – d^2\)
주어진 조건은 “양 끝 두 수의 곱 = 중앙 두 수의 곱 – 32” 이므로,
$$ a^2 – 9d^2 = (a^2 – d^2) – 32 $$
\(a=5\)를 대입하면,
$$ 25 – 9d^2 = (25 – d^2) – 32 $$
$$ 25 – 9d^2 = 25 – d^2 – 32 $$
$$ -9d^2 = -d^2 – 32 $$
$$ 8d^2 = 32 $$
$$ d^2 = 4 \Rightarrow d = \pm 2 $$
- 네 수 구하기:
- \(a=5, d=2\)일 때: 네 수는 \(5-3(2), 5-2, 5+2, 5+3(2) \Rightarrow -1, 3, 7, 11\)
- \(a=5, d=-2\)일 때: 네 수는 \(5-3(-2), 5-(-2), 5+(-2), 5+3(-2) \Rightarrow 11, 7, 3, -1\)
두 경우 모두 같은 네 수의 집합을 (순서만 다르게) 나타냅니다.
답: 네 수는 -1, 3, 7, 11 (또는 11, 7, 3, -1)이다.
✅ 예제 3: 삼차방정식의 세 근이 등차수열을 이룰 때
문제: 삼차방정식 \(x^3 – 6x^2 + kx – 6 = 0\)의 세 실근이 등차수열을 이룰 때, 상수 \(k\)의 값과 세 근을 구하시오.
풀이 과정:
- 근 설정: 세 실근을 \(a-d, a, a+d\)로 놓습니다.
- 근과 계수의 관계 이용 (세 근의 합):
$$ (a-d) + a + (a+d) = -\frac{-6}{1} $$
$$ 3a = 6 \Rightarrow a = 2 $$
따라서 세 근 중 하나는 2입니다. \(x=2\)는 주어진 방정식의 근이므로 대입하면 성립합니다.
$$ (2)^3 – 6(2)^2 + k(2) – 6 = 0 $$
$$ 8 – 24 + 2k – 6 = 0 $$
$$ -22 + 2k = 0 \Rightarrow 2k = 22 \Rightarrow k = 11 $$
- 근과 계수의 관계 이용 (세 근의 곱):
$$ (a-d) \cdot a \cdot (a+d) = -\frac{-6}{1} $$
$$ a(a^2-d^2) = 6 $$
\(a=2\)를 대입하면,
$$ 2(2^2-d^2) = 6 $$
$$ 2(4-d^2) = 6 $$
$$ 4-d^2 = 3 $$
$$ d^2 = 1 \Rightarrow d = \pm 1 $$
- 세 근 구하기:
- \(a=2, d=1\)일 때: 세 근은 \(2-1, 2, 2+1 \Rightarrow 1, 2, 3\)
- \(a=2, d=-1\)일 때: 세 근은 \(2-(-1), 2, 2+(-1) \Rightarrow 3, 2, 1\)
답: 상수 \(k=11\), 세 근은 1, 2, 3이다.
💡 마무리 정리:
- 등차수열을 이루는 수들을 설정할 때, 항의 개수에 따라 대칭적인 형태(\(a-d, a, a+d\) 등)로 놓으면 합을 이용한 계산이 매우 간편해집니다.
- 특히 다항식의 근이 등차수열을 이룬다는 조건이 주어지면, 설정된 근과 근과 계수의 관계를 함께 활용하여 문제를 효과적으로 해결할 수 있습니다.
- 네 수가 등차수열을 이룰 때 공차를 \(2d\)로 설정하는 방식(\(a-3d, a-d, a+d, a+3d\))을 기억해두면 편리합니다.
- 문제를 풀 때는 구한 \(d\)의 부호에 따라 수열의 순서가 바뀔 수 있지만, 수들의 집합은 동일하게 나오는 경우가 많습니다.