📘 개념 이해: “두 수 사이에 수를 넣어 만든 등차수열”이란?
이 유형은 서로 다른 두 수 \(a\)와 \(b\) 사이에 \(n\)개의 다른 수 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)을 삽입하여, 이 전체 수열 \((a, x_1, x_2, \dots, x_n, b)\)이 등차수열을 이루도록 하는 문제입니다. 핵심은 이 새로운 등차수열의 전체 항 수, 첫째항, 그리고 마지막 항을 정확히 파악하는 것입니다.
원래 있던 두 수 \(a, b\)와 그 사이에 삽입된 \(n\)개의 수를 합하면, 새롭게 만들어진 등차수열의 전체 항의 개수는 \(n+2\)개가 됩니다. 이때, 원래의 수 \(a\)는 이 새로운 등차수열의 첫째항이 되고, \(b\)는 마지막 항(즉, \((n+2)\)번째 항)이 됩니다.
🔑 핵심 공식 및 원칙
두 수 \(a, b\) 사이에 \(n\)개의 수를 넣어 만든 등차수열을 \(\{A_k\}\)라고 하면,
- (1) 전체 항 수: \(N = n+2\)
- (2) 첫째항과 끝항:
- 새로운 수열의 첫째항: \(A_1 = a\)
- 새로운 수열의 마지막 항 (\( (n+2) \)번째 항): \(A_{n+2} = b\)
- (3) 공차 \(d\) 구하기:일반항 공식 \(A_k = A_1 + (k-1)d\)를 이용하여 \(A_{n+2}\)를 표현하면,
$$ A_{n+2} = A_1 + ((n+2)-1)d $$
$$ b = a + (n+1)d $$
이 식을 \(d\)에 대해 정리하면 공차를 구할 수 있습니다:
$$ d = \frac{b-a}{n+1} $$
- (4) 삽입된 수 \(x_k\)의 표현:사이에 삽입된 \(k\)번째 수 \(x_k\)는 전체 등차수열에서는 \((k+1)\)번째 항(\(A_{k+1}\))이 됩니다.
$$ x_k = A_{k+1} = A_1 + ((k+1)-1)d = a + kd $$
💡 문제 해결 전략
이러한 유형의 문제를 풀 때는, 새로운 등차수열의 구조를 명확히 이해하고 공차를 먼저 구하는 것이 일반적입니다.
주요 접근 방법1. 전체 항 수 파악: 양 끝의 두 수와 삽입된 \(n\)개의 수를 합쳐 총 \(n+2\)개의 항이 있음을 인지합니다.
2. 첫째항과 마지막 항 설정:
\text{첫째항 (제1항)} = a
\text{마지막 항 (제}(n+2)\text{항)} = b
3. 공차 계산: 위에서 유도된 공식을 사용합니다.
$$ d = \frac{b-a}{n+1} $$
4. 삽입된 항의 값 계산: 사이에 넣은 \(k\)번째 수 \(x_k\)는 새로운 수열의 \((k+1)\)번째 항입니다.
$$ x_k = a + kd $$
(주의: \(x_k = a + (k-1)d\)가 아닙니다. \(x_k\)는 \(a\)로부터 공차를 \(k\)번 더한 위치에 있습니다.)
문제를 풀 때, 변수를 혼동하지 않도록 주의해야 합니다. 삽입된 수의 개수가 \(n\)인지, 아니면 전체 항의 개수가 \(n\)인지 명확히 구분해야 합니다. 이 유형에서는 보통 “사이에 \(n\)개의 수를 넣었다”고 표현하므로, 전체 항 수는 \(n+2\)가 됩니다.
만약 삽입된 모든 수들의 합을 구하라는 문제가 나온다면, \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 자체도 등차수열을 이루므로, \(x_1 = a+d\), \(x_n = b-d\) (또는 \(a+nd\))를 이용하여 등차수열의 합 공식을 적용할 수 있습니다.
💡 문제 풀이 단계 (두 수 사이에 수 넣기)
- 주어진 값 확인: 양 끝의 두 수 \(a, b\)와 그 사이에 삽입된 항의 개수 \(n\)을 확인합니다.
- 새로운 수열의 정보 설정:
- 전체 항 수: \(N = n+2\)
- 첫째항: \(A_1 = a\)
- 마지막 항: \(A_N = A_{n+2} = b\)
- 공차(\(d\)) 계산: \(d = \frac{b-a}{n+1}\) 공식을 사용하여 공차를 구합니다.
- 요구하는 값 계산:
- 공차를 묻는 경우: 3단계에서 구한 \(d\)가 답입니다.
- 삽입된 특정 항(\(x_k\))의 값을 묻는 경우: \(x_k = a + kd\)를 계산합니다.
- 삽입된 항들의 합을 묻는 경우: \(S_n = \frac{n(x_1+x_n)}{2}\) 등을 이용합니다. (\(x_1=a+d, x_n=b-d\))
- 답 확인: 구한 공차나 항의 값이 문제의 조건(예: 자연수, 정수 등)에 부합하는지 확인합니다.
✅ 예제 1: 공차 구하기
문제: 두 수 5와 35 사이에 5개의 수 \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\)를 넣어 전체 수열이 등차수열을 이루도록 할 때, 이 등차수열의 공차를 구하시오.
풀이 과정:
- 주어진 값:
- 첫 번째 수 \(a = 5\)
- 마지막 수 \(b = 35\)
- 삽입된 항의 개수 \(n = 5\)
- 새로운 수열의 정보:
- 전체 항 수: \(N = n+2 = 5+2 = 7\)
- 첫째항: \(A_1 = 5\)
- 마지막 항 (제7항): \(A_7 = 35\)
- 공차 계산:
$$ d = \frac{b-a}{n+1} = \frac{35-5}{5+1} = \frac{30}{6} = 5 $$
(또는 \(A_7 = A_1 + 6d \Rightarrow 35 = 5 + 6d \Rightarrow 30 = 6d \Rightarrow d=5\))
답: 공차는 5이다.
✅ 예제 2: 삽입된 특정 항의 값 구하기
문제: 두 수 3과 39 사이에 8개의 수 \(x_1, x_2, \dots, x_8\)을 넣어 전체 수열이 등차수열을 이루도록 할 때, \(x_5\)의 값을 구하시오.
풀이 과정:
- 주어진 값: \(a=3, b=39, n=8\)
- 공차 계산:
$$ d = \frac{b-a}{n+1} = \frac{39-3}{8+1} = \frac{36}{9} = 4 $$
- \(x_5\) 계산:\(x_5\)는 첫째항 \(a\)에 공차 \(d\)를 5번 더한 값이므로,
$$ x_5 = a + 5d = 3 + 5(4) = 3 + 20 = 23 $$
(참고: \(x_5\)는 전체 수열의 제 \((5+1)=6\)항이다: \(A_6 = A_1 + 5d = 3 + 5(4) = 23\))
답: \(x_5 = 23\)
✅ 예제 3: 삽입된 수들의 합 구하기
문제: 두 수 -10과 50 사이에 9개의 수 \(x_1, x_2, \dots, x_9\)를 넣어 전체 수열이 등차수열을 이루도록 할 때, 삽입된 9개의 수(\(x_1\)부터 \(x_9\)까지)의 합을 구하시오.
풀이 과정:
- 주어진 값: \(a=-10, b=50, n=9\)
- 공차 계산:
$$ d = \frac{b-a}{n+1} = \frac{50 – (-10)}{9+1} = \frac{60}{10} = 6 $$
- 삽입된 첫 번째 수(\(x_1\))와 마지막 수(\(x_9\)) 계산:
$$ x_1 = a + d = -10 + 6 = -4 $$
$$ x_9 = a + 9d = -10 + 9(6) = -10 + 54 = 44 $$
(또는 \(x_9 = b – d = 50 – 6 = 44\))
- 삽입된 9개 수의 합 계산:삽입된 수들 \(x_1, \dots, x_9\)는 첫째항이 \(x_1=-4\), 끝항이 \(x_9=44\), 항수가 9인 등차수열을 이룬다.등차수열의 합 공식 \(S_k = \frac{k(\text{첫항} + \text{끝항})}{2}\)을 이용하면,
$$ \text{합} = \frac{9(x_1 + x_9)}{2} = \frac{9(-4 + 44)}{2} = \frac{9 \times 40}{2} = 9 \times 20 = 180 $$
답: 삽입된 9개의 수의 합은 180이다.
💡 마무리 정리:
- 두 수 \(a, b\) 사이에 \(n\)개의 수를 넣으면 전체 항 수는 \((n+2)\)개가 됩니다. 이를 명확히 하는 것이 가장 중요합니다.
- 새로운 등차수열의 첫째항은 \(a\), 마지막 \((n+2)\)번째 항은 \(b\)입니다.
- 공차는 \(d = \frac{b-a}{n+1}\)로 계산됩니다. 이 공식은 매우 유용합니다.
- 사이에 삽입된 \(k\)번째 수 \(x_k\)는 \(a\)로부터 공차를 \(k\)번 더한 \(a+kd\)로 표현되며, 전체 수열의 \((k+1)\)번째 항입니다.
등차수열을 이루는 세수 네수 – 합을 이용한 등차 수열 풀이