🔑 핵심 원칙:
- 도형 공식 암기: 기본적인 도형들의 둘레, 넓이, 부피 공식을 정확히 알고 있어야 합니다.
- 미지수 설정: 문제에서 구하고자 하는 변의 길이, 높이 등을 미지수 \(x\)로 놓습니다.
- 식 표현: 다른 변의 길이나 관련 값들을 \(x\)를 사용하여 표현합니다.
- 방정식 세우기: 주어진 조건(둘레, 넓이, 부피 등)을 이용하여 \(x\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- 방정식을 풀어 \(x\) 값을 구하고, 문제의 조건에 맞는지 확인합니다.
💡 주요 도형 공식
도형의 둘레의 길이와 넓이에 대한 공식을 이용하여 방정식을 세웁니다. 자주 사용되는 공식은 다음과 같습니다.
(1) 직사각형의 둘레의 길이
직사각형의 둘레의 길이
$$ (\text{직사각형의 둘레}) = 2 \times \{(\text{가로의 길이}) + (\text{세로의 길이})\} $$
(2) 사다리꼴의 넓이
사다리꼴의 넓이
$$ (\text{사다리꼴의 넓이}) = \frac{1}{2} \times \{(\text{윗변의 길이}) + (\text{아랫변의 길이})\} \times (\text{높이}) $$
(또는 윗변/아랫변 순서가 바뀌어도 동일합니다.)
기타 자주 사용되는 공식
- 정사각형 둘레: \(4 \times (\text{한 변의 길이})\)
- 정사각형 넓이: \((\text{한 변의 길이})^2\)
- 직사각형 넓이: \((\text{가로의 길이}) \times (\text{세로의 길이})\)
- 삼각형 넓이: \(\frac{1}{2} \times (\text{밑변의 길이}) \times (\text{높이})\)
- 평행사변형 넓이: \((\text{밑변의 길이}) \times (\text{높이})\)
- 마름모 넓이: \(\frac{1}{2} \times (\text{한 대각선의 길이}) \times (\text{다른 대각선의 길이})\)
- 원 둘레 (원주): \(2 \pi r\) (단, \(r\)은 반지름)
- 원 넓이: \(\pi r^2\) (단, \(r\)은 반지름)
💡 문제 풀이 단계
- 도형 파악 및 공식 선택: 문제에 어떤 도형이 주어졌는지 파악하고, 관련된 둘레, 넓이, 부피 공식을 떠올립니다.
- 미지수 설정: 구하고자 하는 길이(가로, 세로, 높이, 밑변 등)를 \(x\)로 놓습니다.
- 다른 변의 길이 표현: 문제의 조건에 따라 다른 변의 길이를 \(x\)에 대한 식으로 표현합니다. (예: “가로의 길이가 세로의 길이보다 3cm 길다”면, 세로를 \(x\)로 놓으면 가로는 \(x+3\))
- 방정식 세우기: 문제에서 주어진 둘레, 넓이, 부피 값을 이용하여 선택한 공식에 대입하여 \(x\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 \(x\)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 \(x\) 값이 길이로서 타당한지 (예: 양수인지) 확인합니다.
- \(x\) 값을 바탕으로 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다. (예: 특정 변의 길이, 넓이 등)
- 구한 값들을 공식에 다시 대입하여 문제의 조건과 일치하는지 검산합니다.
✅ 예제 1: 직사각형의 둘레와 넓이
문제: 둘레의 길이가 34cm이고, 가로의 길이가 세로의 길이보다 3cm 더 긴 직사각형이 있다. 이 직사각형의 넓이를 구하시오.
풀이 과정:
- 미지수 설정: 세로의 길이를 \(x\) cm라고 합니다.
- 다른 변의 길이 표현: 가로의 길이는 세로의 길이보다 3cm 더 길므로 \((x+3)\) cm입니다.
- 방정식 세우기 (둘레 이용): 직사각형의 둘레 = \(2 \times (\text{가로} + \text{세로})\)
$$ 2 \times \{(x+3) + x\} = 34 $$
- 방정식 풀기:
$$ 2(2x+3) = 34 $$
$$ 4x + 6 = 34 $$
$$ 4x = 34 – 6 $$
$$ 4x = 28 $$
$$ x = 7 $$
- 답 구하기 및 확인:세로의 길이 \(x\)는 7cm입니다.가로의 길이는 \(x+3 = 7+3 = 10\)cm입니다.확인 (둘레): \(2 \times (10 + 7) = 2 \times 17 = 34\)cm. (일치)
이제 넓이를 구합니다: 넓이 = 가로 \(\times\) 세로 = \(10 \times 7 = 70\)
답: 직사각형의 넓이는 70 cm²이다.
✅ 예제 2: 사다리꼴의 넓이
문제: 윗변의 길이가 6cm, 높이가 5cm인 사다리꼴이 있다. 이 사다리꼴의 넓이가 40cm²일 때, 아랫변의 길이는 몇 cm인가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 아랫변의 길이를 \(x\) cm라고 합니다.
- 주어진 값: 윗변 = 6cm, 높이 = 5cm, 넓이 = 40cm²
- 방정식 세우기 (넓이 이용): 사다리꼴의 넓이 = \(\frac{1}{2} \times (\text{윗변} + \text{아랫변}) \times \text{높이}\)
$$ \frac{1}{2} \times (6 + x) \times 5 = 40 $$
- 방정식 풀기:양변에 2를 곱하면:
$$ (6 + x) \times 5 = 80 $$
양변을 5로 나누면:
$$ 6 + x = \frac{80}{5} $$
$$ 6 + x = 16 $$
$$ x = 16 – 6 $$
$$ x = 10 $$
- 답 구하기 및 확인:아랫변의 길이 \(x\)는 10cm입니다.확인 (넓이): \(\frac{1}{2} \times (6 + 10) \times 5 = \frac{1}{2} \times 16 \times 5 = 8 \times 5 = 40\)cm². (일치)
답: 아랫변의 길이는 10 cm이다.
✅ 예제 3: 변의 길이 변화와 넓이 변화
문제: 가로의 길이가 세로의 길이의 2배인 직사각형이 있다. 이 직사각형의 가로의 길이를 3cm 줄이고 세로의 길이를 2cm 늘였더니 넓이가 처음 직사각형의 넓이와 같아졌다. 처음 직사각형의 세로의 길이는 몇 cm인가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 처음 직사각형의 세로의 길이를 \(x\) cm라고 합니다.
- 처음 직사각형의 치수 및 넓이:
- 세로: \(x\) cm
- 가로: \(2x\) cm (세로의 2배)
- 처음 넓이: \((\text{가로}) \times (\text{세로}) = 2x \times x = 2x^2\) cm²
- 변화된 직사각형의 치수 및 넓이:
- 변화된 가로: \(2x – 3\) cm (3cm 줄임)
- 변화된 세로: \(x + 2\) cm (2cm 늘임)
- 변화된 넓이: \((2x – 3)(x + 2)\) cm²
- 방정식 세우기: “변화된 넓이가 처음 직사각형의 넓이와 같아졌다”
$$ (2x – 3)(x + 2) = 2x^2 $$
- 방정식 풀기:
$$ 2x^2 + 4x – 3x – 6 = 2x^2 $$
$$ 2x^2 + x – 6 = 2x^2 $$
양변에서 \(2x^2\)을 소거하면:
$$ x – 6 = 0 $$
$$ x = 6 $$
- 답 구하기 및 확인:처음 직사각형의 세로의 길이 \(x\)는 6cm입니다.처음 직사각형: 세로 6cm, 가로 12cm, 넓이 \(6 \times 12 = 72\)cm²변화된 직사각형: 가로 \(12-3=9\)cm, 세로 \(6+2=8\)cm, 넓이 \(9 \times 8 = 72\)cm²
넓이가 같으므로 문제 조건과 일치합니다. 또한, 변화된 가로와 세로 길이(\(9>0, 8>0\))도 양수입니다.
답: 처음 직사각형의 세로의 길이는 6 cm이다.
💡 마무리 정리:
- 도형 문제는 그림을 그려서 이해하면 도움이 될 때가 많습니다.
- 각 도형의 둘레, 넓이, 부피 공식을 정확히 암기하고 이해하는 것이 기본입니다.
- 미지수 \(x\)를 설정하고, 다른 길이들을 \(x\)에 대한 식으로 표현하는 연습을 충분히 하세요.
- 방정식을 세우고 풀 때, 단위를 통일하는 것도 중요합니다 (cm, m 등).
- 구한 답이 길이로서의 의미를 가지는지 (양수인지) 반드시 확인해야 합니다.
거리, 속력, 시간 문제 (1) – 중1 수학 일차방정식 활용 유형 – 속력이 바뀌는 유형