🔑 직사각형의 기본 공식
도형의 둘레의 길이와 넓이에 대한 공식을 이용하여 방정식을 세웁니다.
- (1) 직사각형의 둘레의 길이:
$$ \text{둘레} = 2 \times \{(\text{가로의 길이}) + (\text{세로의 길이})\} $$
- (2) 직사각형의 넓이:
$$ \text{넓이} = (\text{가로의 길이}) \times (\text{세로의 길이}) $$
참고: 정사각형은 네 변의 길이가 모두 같고 네 각이 모두 직각인 사각형으로, 직사각형의 특별한 경우입니다.
- 정사각형 둘레: \(4 \times (\text{한 변의 길이})\)
- 정사각형 넓이: \((\text{한 변의 길이})^2\)
💡 문제 풀이 단계 (직사각형 문제 중심)
- 도형 파악 및 공식 선택: 문제에 주어진 도형이 직사각형인지, 정사각형인지, 또는 다른 도형인지 파악하고 관련된 둘레, 넓이 공식을 준비합니다.
- 미지수 설정:
- 일반적으로 구하고자 하는 한 변의 길이(예: 가로 또는 세로)를 미지수 \(x\)로 설정합니다.
- 만약 두 변의 길이를 모두 모른다면, 한 변을 \(x\), 다른 변을 \(y\)로 놓고 연립방정식을 세우거나, 주어진 관계를 이용하여 한 문자로 통일합니다. (예: “가로가 세로보다 5cm 길다” \(\implies\) 세로 \(x\), 가로 \(x+5\))
- 다른 변의 길이 또는 조건 표현: 문제의 조건에 따라 다른 변의 길이를 \(x\)에 대한 식으로 표현하거나, 변화된 도형의 변의 길이를 나타냅니다.
- 방정식 세우기: 문제에서 주어진 둘레, 넓이 값을 이용하여 선택한 공식에 대입하여 \(x\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 미지수 \(x\)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 \(x\) 값이 길이로서 타당한지 (예: 양수인지) 확인합니다.
- \(x\) 값을 바탕으로 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다. (예: 특정 변의 길이, 넓이, 또는 다른 변의 길이 등)
- 구한 값들을 공식에 다시 대입하여 문제의 조건과 일치하는지 검산합니다.
✅ 예제 1: 직사각형의 둘레와 변의 관계
문제: 직사각형의 가로의 길이가 세로의 길이의 3배보다 2cm 짧다. 이 직사각형의 둘레의 길이가 52cm일 때, 가로와 세로의 길이를 각각 구하시오.
풀이 과정:
- 미지수 설정:
- 세로의 길이를 \(x\) cm라고 합니다.
- 가로의 길이는 세로의 길이의 3배보다 2cm 짧으므로 \((3x – 2)\) cm입니다.
- (조건: 변의 길이는 양수이므로 \(x > 0\) 이고 \(3x – 2 > 0 \implies x > \frac{2}{3}\). 따라서 \(x > \frac{2}{3}\))
- 방정식 세우기 (둘레 이용): \(2 \times (\text{가로} + \text{세로}) = \text{둘레}\)
$$ 2 \times \{(3x – 2) + x\} = 52 $$
- 방정식 풀기:
$$ 2(4x – 2) = 52 $$
$$ 8x – 4 = 52 $$
$$ 8x = 52 + 4 $$
$$ 8x = 56 $$
$$ x = 7 $$
- 답 구하기 및 확인:세로의 길이 \(x\)는 7cm입니다. ( \(x=7 > \frac{2}{3}\) 조건 만족)가로의 길이는 \(3x – 2 = 3 \times 7 – 2 = 21 – 2 = 19\)cm입니다.확인 (둘레): \(2 \times (19 + 7) = 2 \times 26 = 52\)cm. (문제 조건과 일치)
답: 가로의 길이는 19 cm, 세로의 길이는 7 cm이다.
✅ 예제 2: 직사각형의 넓이와 변의 길이 관계 (수정된 예제)
문제: 세로의 길이가 가로의 길이보다 4cm 짧은 직사각형이 있다. 이 직사각형의 둘레의 길이가 56cm일 때, 이 직사각형의 넓이를 구하시오.
풀이 과정:
- 미지수 설정:
- 가로의 길이를 \(x\) cm라고 합니다.
- 세로의 길이는 가로의 길이보다 4cm 짧으므로 \((x – 4)\) cm입니다.
- (조건: 변의 길이는 양수이므로 \(x > 0\) 이고 \(x – 4 > 0 \implies x > 4\). 따라서 \(x > 4\))
- 방정식 세우기 (둘레 이용): \(2 \times (\text{가로} + \text{세로}) = \text{둘레}\)
$$ 2 \times \{x + (x – 4)\} = 56 $$
- 방정식 풀기:
$$ 2(2x – 4) = 56 $$
$$ 4x – 8 = 56 $$
$$ 4x = 56 + 8 $$
$$ 4x = 64 $$
$$ x = 16 $$
- 답 구하기 및 확인:가로의 길이 \(x\)는 16cm입니다. ( \(x=16 > 4\) 조건 만족)세로의 길이는 \(x – 4 = 16 – 4 = 12\)cm입니다.확인 (둘레): \(2 \times (16 + 12) = 2 \times 28 = 56\)cm. (문제 조건과 일치)
이제 넓이를 구합니다: 넓이 = 가로 \(\times\) 세로 = \(16 \times 12\)
$$ 16 \times 12 = 192 $$
답: 직사각형의 넓이는 192 cm²이다.
💡 마무리 정리:
- 직사각형 문제는 가로, 세로, 둘레, 넓이 사이의 관계를 정확히 이해하는 것이 기본입니다.
- \( \text{둘레} = 2 \times (\text{가로} + \text{세로}) \) 와 \( \text{넓이} = \text{가로} \times \text{세로} \) 공식을 정확히 사용해야 합니다.
- 미지수를 설정할 때, 구하고자 하는 값을 직접 \(x\)로 놓거나, 다른 값을 \(x\)로 놓고 구하고자 하는 값을 \(x\)에 대한 식으로 표현할 수 있습니다.
- 문제에서 변의 길이가 변하는 경우, 변화 후의 각 변의 길이를 정확히 식으로 나타내는 것이 중요합니다.
- 구한 답이 길이로서의 의미를 가지는지 (양수인지) 반드시 확인해야 합니다.
계단 오르내리기 문제 – 연립방정식 활용 – 중2수학 유형별 개념