🔑 핵심 원칙:
- 미지수 설정: 문제에서 구하려는 나이 또는 시간을 \(x\)로 놓는다.
- 특정 사람의 현재 나이를 묻는 경우: 그 사람의 현재 나이를 \(x\)세로 놓는다.
- 몇 년 후인지 묻는 경우: 그 기간을 \(x\)년 후로 놓는다.
- 시간 변화에 따른 나이 표현:
- \(x\)년 후의 나이 = (현재 나이) + \(x\)
- \(x\)년 전의 나이 = (현재 나이) – \(x\)
- 문제에 주어진 나이 관계를 이용하여 방정식을 세우고 \(x\) 값을 구한다.
💡 미지수 설정 방법
(1) 몇 년 후인지 구할 때
원칙: 몇 년 후를 \(x\)년 후로 놓는다.어떤 조건이 만족되는 것이 “몇 년 후”인지 묻는 문제에서는, 그 “몇 년”을 미지수 \(x\)로 설정합니다.
그러면, \(x\)년 후의 나이는 다음과 같이 표현됩니다:
$$ (\text{\(x\)년 후의 나이}) = (\text{현재 나이}) + x $$
제공해주신 이미지에서 (1)번 항목의 빈칸 ①은 \(x\) 입니다.
따라서, $$ (\text{\(x\)년 후의 나이}) = (\text{현재 나이}) + \mathbf{x} $$
로 표현합니다.
(2) 특정한 사람의 나이를 구할 때
원칙: 구하고자 하는 사람의 (보통 현재) 나이를 \(x\)세로 놓는다.문제에서 특정 인물의 현재 나이 (또는 특정 시점의 나이)를 묻는 경우, 그 나이를 미지수 \(x\)세로 설정합니다.
- 예: “현재 아들의 나이는 몇 세인가?” 라면, 현재 아들의 나이를 \(x\)세로 둡니다.
- 다른 사람의 나이나 미래/과거의 나이는 이 \(x\)를 기준으로 표현합니다.
💡 문제 풀이 단계
- 기준 시점 파악 및 미지수 설정:
- 문제를 읽고 “현재”를 기준으로 할지, 아니면 다른 시점을 기준으로 할지 정합니다.
- 구하려는 것이 나이인지, 시간(년 수)인지에 따라 미지수 \(x\)를 설정합니다.
- 각 시점에서의 나이 표현:
- 설정한 미지수 \(x\)를 사용하여 관련된 모든 사람의 현재 나이, \(x\)년 후의 나이, 또는 \(x\)년 전의 나이 등을 식으로 나타냅니다.
- 방정식 세우기: 문제에 주어진 특정 시점에서의 나이 관계 (예: “A의 나이가 B의 나이의 2배이다”, “A와 B의 나이 합이 C이다”)를 이용하여 \(x\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 \(x\)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 \(x\) 값이 문제의 조건에 맞는지 (예: 나이가 음수가 아닌지, 문제 상황에 부합하는지) 확인합니다.
- \(x\) 값을 바탕으로 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다. (예: 특정인의 현재 나이, 몇 년 후인지 등)
- 모든 조건에 대입하여 검산합니다.
✅ 예제 1: 몇 년 후인지 구하는 문제
문제: 현재 어머니의 나이는 42세이고, 딸의 나이는 12세이다. 어머니의 나이가 딸의 나이의 3배가 되는 것은 몇 년 후인가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 어머니의 나이가 딸의 나이의 3배가 되는 것을 \(x\)년 후라고 합니다.
- \(x\)년 후의 나이 표현:
- \(x\)년 후 어머니의 나이: \(42 + x\)세
- \(x\)년 후 딸의 나이: \(12 + x\)세
- 방정식 세우기: “\(x\)년 후 어머니의 나이가 딸의 나이의 3배가 된다”
$$ (42 + x) = 3(12 + x) $$
- 방정식 풀기:
$$ 42 + x = 36 + 3x $$
$$ 42 – 36 = 3x – x $$
$$ 6 = 2x $$
$$ x = 3 $$
- 답 구하기 및 확인:\(x=3\)이므로, 3년 후입니다.확인 (3년 후):
- 어머니 나이: \(42 + 3 = 45\)세
- 딸 나이: \(12 + 3 = 15\)세
- 어머니 나이(45)는 딸 나이(15)의 \(45 \div 15 = 3\)배. (일치)
답: 3년 후이다.
✅ 예제 2: 특정 사람의 현재 나이 구하기
문제: 현재 아버지의 나이는 아들의 나이보다 28세 많다. 5년 후에는 아버지의 나이가 아들 나이의 3배보다 4세 많아진다고 한다. 현재 아들의 나이는 몇 세인가?
풀이 과정:
- 미지수 설정 (현재 나이 기준):
- 현재 아들의 나이를 \(x\)세라고 합니다.
- 현재 아버지의 나이는 아들보다 28세 많으므로 \((x + 28)\)세입니다.
- 5년 후의 나이 표현:
- 5년 후 아들의 나이: \(x + 5\)세
- 5년 후 아버지의 나이: \((x + 28) + 5 = (x + 33)\)세
- 방정식 세우기: “5년 후 아버지의 나이가 아들 나이의 3배보다 4세 많아진다”
$$ (x + 33) = 3(x + 5) + 4 $$
- 방정식 풀기:
$$ x + 33 = 3x + 15 + 4 $$
$$ x + 33 = 3x + 19 $$
$$ 33 – 19 = 3x – x $$
$$ 14 = 2x $$
$$ x = 7 $$
- 답 구하기 및 확인:현재 아들의 나이 \(x\)는 7세입니다.현재 아버지의 나이는 \(7 + 28 = 35\)세입니다.확인 (5년 후):
- 아들 나이: \(7 + 5 = 12\)세
- 아버지 나이: \(35 + 5 = 40\)세
- 아들 나이의 3배보다 4세 많은 나이: \(3 \times 12 + 4 = 36 + 4 = 40\)세. 아버지 나이와 일치합니다.
답: 현재 아들의 나이는 7세이다.
✅ 예제 3: 나이 차를 이용한 문제
문제: 현재 형의 나이는 15세이고, 동생의 나이는 9세이다. 형의 나이가 동생의 나이의 2배였던 것은 몇 년 전인가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 형의 나이가 동생의 나이의 2배였던 것을 \(x\)년 전이라고 합니다.
- \(x\)년 전의 나이 표현:
- \(x\)년 전 형의 나이: \(15 – x\)세
- \(x\)년 전 동생의 나이: \(9 – x\)세
- (단, \(x\)는 9보다 작아야 합니다. 나이가 음수가 될 수 없으므로)
- 방정식 세우기: “\(x\)년 전 형의 나이가 동생의 나이의 2배였다”
$$ (15 – x) = 2(9 – x) $$
- 방정식 풀기:
$$ 15 – x = 18 – 2x $$
$$ 2x – x = 18 – 15 $$
$$ x = 3 $$
- 답 구하기 및 확인:\(x=3\)이므로, 3년 전입니다. (3은 9보다 작으므로 조건 만족)확인 (3년 전):
- 형 나이: \(15 – 3 = 12\)세
- 동생 나이: \(9 – 3 = 6\)세
- 형 나이(12)는 동생 나이(6)의 \(12 \div 6 = 2\)배. (일치)
답: 3년 전이다.
💡 마무리 정리:
- 나이 문제의 기본은 “시간이 흐르면 모두 똑같이 나이를 먹는다”는 사실입니다.
- “현재”를 기준점으로 잡고, 문제에서 언급된 다른 시점(미래 또는 과거)의 나이를 정확히 표현하는 것이 중요합니다.
- 두 사람의 나이 차는 항상 일정하다는 점도 문제 해결의 단서가 될 수 있습니다.
- 구하고자 하는 것이 ‘몇 년 후/전’인지, ‘특정인의 나이’인지 명확히 구분하여 미지수를 설정하세요.
합이 일정한 문제 – 중1수학 – 일차방정식 활용 유형 (4)