나이에 대한 문제 – 중2수학 – 연립방정식 활용 대표 유형 개념 및 문제

📘 개념 이해: “나이에 대한 문제”란?

“나이에 대한 문제”는 현재, 과거, 또는 미래의 특정 인물들의 나이와 그들 사이의 관계를 다루는 문장제 문제입니다.

이 유형의 문제를 풀 때 가장 중요한 두 가지 기본 원칙은 다음과 같습니다:

• 시간의 흐름에 따른 나이 변화: 모든 사람은 1년에 1살씩 똑같이 나이를 먹습니다.
• 나이 차의 불변성: 두 사람의 나이 차이는 시간이 지나도 항상 일정하게 유지됩니다.

문제 해결의 핵심은 “현재”, “몇 년 후”, “몇 년 전”과 같은 시간적 표현을 정확히 파악하고, 각 시점에서 관련된 사람들의 나이를 미지수를 사용하여 식으로 표현하는 것입니다.

💡 문제 풀이 전략

1. 기준 시점 파악 및 미지수 설정:
   • 일반적으로 현재 나이를 미지수 \(x\) (또는 \(x, y\))로 설정합니다. 문제에서 구하려는 값을 미지수로 놓는 것이 편리합니다.
   • 만약 두 사람의 나이 차이가 주어졌다면, 한 사람의 나이를 \(x\)로 놓으면 다른 사람의 나이는 \(x + (\text{나이 차})\) 또는 \(x – (\text{나이 차})\)로 표현할 수 있습니다.
2. 과거 또는 미래의 나이 표현:
   • 설정한 현재 나이를 기준으로, 문제에서 언급된 과거 또는 미래 시점의 각 사람의 나이를 식으로 나타냅니다. (예: \(x-a\), \(x+b\))
3. 방정식 세우기:
   • 문제에 주어진 특정 시점에서의 나이 관계 (예: “A의 나이가 B의 나이의 2배이다”, “두 사람의 나이 합이 C이다”, “A의 나이가 B의 나이보다 D만큼 적다”)를 이용하여 방정식을 세웁니다.
4. 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 미지수의 값을 구합니다.
5. 답 구하기 및 확인:
   • 구한 미지수 값이 나이로서 타당한지 (예: 양수인지) 확인합니다.
   • 구한 값을 바탕으로 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다. (예: 현재 각자의 나이, 몇 년 후인지 등)
   • 구한 나이들을 원래 문제의 모든 조건에 대입하여 만족하는지 검산합니다.

✅ 예제 1: 나이 차와 미래의 나이 관계

문제: 현재 어머니와 딸의 나이 차는 30살이다. 8년 후에는 어머니의 나이가 딸의 나이의 3배가 된다고 한다. 현재 딸의 나이는 몇 살인가?

풀이 과정:

• 미지수 설정 (현재 나이 기준):
  • 현재 딸의 나이를 \(x\)살이라고 합니다.
  • 어머니와 딸의 나이 차가 30살이므로, 현재 어머니의 나이는 \((x + 30)\)살입니다.
• 8년 후의 나이 표현:
  • 8년 후 딸의 나이: \((x + 8)\)살
  • 8년 후 어머니의 나이: \((x + 30) + 8 = (x + 38)\)살
• 방정식 세우기: “8년 후 어머니의 나이가 딸의 나이의 3배가 된다”

  $$ (x + 38) = 3(x + 8) $$

• 방정식 풀기:

  $$ x + 38 = 3x + 24 $$

  $$ 38 – 24 = 3x – x $$

  $$ 14 = 2x $$

  $$ x = 7 $$

• 답 구하기 및 확인:현재 딸의 나이 \(x\)는 7살입니다.확인:
  • 현재 어머니 나이: \(7 + 30 = 37\)살. (나이 차 30살 확인)
  • 8년 후 딸 나이: \(7 + 8 = 15\)살
  • 8년 후 어머니 나이: \(37 + 8 = 45\)살
  • 8년 후 어머니 나이(45)는 딸 나이(15)의 \(45 \div 15 = 3\)배. (문제 조건과 일치)

답: 현재 딸의 나이는 7살이다.

✅ 예제 2: 현재 나이의 합과 과거의 나이 관계

문제: 현재 형과 동생의 나이의 합은 25살이다. 5년 전에는 형의 나이가 동생의 나이의 2배였다고 한다. 현재 형의 나이를 구하시오.

풀이 과정:

• 미지수 설정 (현재 나이 기준):
  • 현재 형의 나이를 \(x\)살이라고 합니다.
  • 형과 동생의 나이 합이 25살이므로, 현재 동생의 나이는 \((25 – x)\)살입니다.
  • (조건: 형의 나이가 동생보다 많다고 가정하면 \(x > 25-x \implies 2x > 25 \implies x > 12.5\))
• 5년 전의 나이 표현:
  • 5년 전 형의 나이: \((x – 5)\)살
  • 5년 전 동생의 나이: \((25 – x) – 5 = (20 – x)\)살
  • (조건: 5년 전에도 나이가 존재해야 하므로 \(x-5 > 0 \implies x > 5\) 그리고 \(20-x > 0 \implies x < 20\))
• 방정식 세우기: “5년 전 형의 나이가 동생의 나이의 2배였다”

  $$ (x – 5) = 2(20 – x) $$

• 방정식 풀기:

  $$ x – 5 = 40 – 2x $$

  $$ x + 2x = 40 + 5 $$

  $$ 3x = 45 $$

  $$ x = 15 $$

• 답 구하기 및 확인:현재 형의 나이 \(x\)는 15살입니다.조건 확인: \(x=15\)는 \(12.5 < x < 20\) 범위에 속합니다.현재 동생 나이: \(25 – 15 = 10\)살.

  확인 (5년 전):

  • 5년 전 형 나이: \(15 – 5 = 10\)살
  • 5년 전 동생 나이: \(10 – 5 = 5\)살
  • 5년 전 형 나이(10)는 동생 나이(5)의 \(10 \div 5 = 2\)배. (문제 조건과 일치)

답: 현재 형의 나이는 15살이다.