기차 터널 유형 문제 – 완전히 통과 한 후를 기준으로 풀이 -중2 연립방정식활용

📘 개념 이해: “기차가 터널이나 철교를 통과하는 경우”란?

“기차가 터널이나 철교를 통과하는 경우”의 문제는 자체 길이가 있는 기차가 특정 길이의 터널이나 철교와 같은 구조물을 완전히 지나가는 상황을 다룹니다. 일반적인 점(point)의 이동과 달리, 기차의 길이를 고려해야 하므로 “완전히 통과한다”는 것의 의미를 정확히 파악하는 것이 매우 중요합니다.

핵심은 기차가 구조물을 완전히 통과하기 위해 실제로 이동해야 하는 총 거리가 얼마인지를 계산하는 것입니다. 이 실제 이동 거리는 (구조물의 길이)와 (기차의 길이)를 합한 값이 됩니다.

💡 기차가 완전히 통과할 때 이동한 총 거리

기차가 길이가 있는 구조물(터널, 철교 등)을 완전히 지날 때까지 달린 거리는 다음과 같이 계산합니다.

💡 문제 풀이 단계 (기차 터널/철교 통과 문제)

1. 문제 분석 및 정보 정리: 기차의 속력(일정한 경우가 많음), 터널/철교의 길이, 기차의 길이, 통과하는 데 걸린 시간 등의 정보를 정확히 파악합니다.
2. 미지수 설정: 문제에서 구하고자 하는 값(일반적으로 기차의 길이 또는 기차의 속력)을 미지수 \(x\)로 설정합니다.
3. 기차가 이동한 총 거리 표현: 위 공식을 사용하여, 기차가 터널/철교를 완전히 통과하는 데 이동한 총 거리를 “(구조물의 길이) + (기차의 길이)”로 나타냅니다. 이 식에 미지수 \(x\)가 포함될 수 있습니다.
4. 방정식 세우기: 거리, 속력, 시간의 기본 관계 중 하나를 이용하여 방정식을 세웁니다.
   • 일정한 속력 이용: 만약 문제에서 두 가지 다른 통과 상황이 주어진다면 (예: 서로 다른 길이의 터널을 통과), 두 상황 모두에서 기차의 속력은 일정하다는 점을 이용하여 방정식을 세웁니다.

     $$ \text{속력} = \frac{(\text{터널1 길이}) + (\text{기차 길이})}{(\text{터널1 통과 시간})} = \frac{(\text{터널2 길이}) + (\text{기차 길이})}{(\text{터널2 통과 시간})} $$

   • 또는 \(\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}\)을 직접 사용할 수도 있습니다.
5. 단위 통일: 거리(m, km), 시간(초, 분, 시), 속력(m/s, m/분, km/h)의 단위를 반드시 통일합니다. 예를 들어, 길이가 m이고 시간이 초이면 속력은 m/s로 계산하는 것이 일관적입니다.
6. 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 \(x\)의 값을 구합니다.
7. 답 구하기 및 확인: 구한 \(x\) 값이 길이 또는 속력으로서 타당한지 (예: 양수인지) 확인하고, 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다. 검산 과정을 통해 확인합니다.

✅ 예제 1: 기차의 길이와 속력 구하기

문제: 일정한 속력으로 달리는 기차가 있다. 이 기차가 길이가 800m인 터널을 완전히 통과하는 데 30초가 걸리고, 길이가 1300m인 철교를 완전히 통과하는 데 45초가 걸렸다. 이 기차의 길이와 속력을 각각 구하시오.

풀이 과정:

• 미지수 설정:
  • 기차의 길이를 \(x\) m
  • 기차의 속력을 \(v\) m/s (일정)
• 상황 1: 터널 통과
  • 기차가 이동한 총 거리: \((800 + x)\) m
  • 걸린 시간: 30초
  • 관계식 (\(\text{거리} = \text{속력} \times \text{시간}\)): \(800 + x = v \times 30 \implies 800 + x = 30v\) — (식 ①)
• 상황 2: 철교 통과
  • 기차가 이동한 총 거리: \((1300 + x)\) m
  • 걸린 시간: 45초
  • 관계식: \(1300 + x = v \times 45 \implies 1300 + x = 45v\) — (식 ②)
• 연립방정식 풀기:(식 ①)에서 \(x = 30v – 800\). 이를 (식 ②)에 대입:

  $$ 1300 + (30v – 800) = 45v $$

  $$ 500 + 30v = 45v $$

  $$ 500 = 45v – 30v $$

  $$ 500 = 15v $$

  $$ v = \frac{500}{15} = \frac{100}{3} $$

  \(v = \frac{100}{3}\)을 \(x = 30v – 800\)에 대입:

  $$ x = 30 \times \frac{100}{3} – 800 = 10 \times 100 – 800 = 1000 – 800 = 200 $$

• 답 구하기 및 확인:기차의 길이는 200m, 기차의 속력은 \(\frac{100}{3}\) m/s 입니다.확인:
  • 터널 통과: 이동 거리 \(800+200=1000\)m. 시간 \(\frac{1000}{100/3} = 1000 \times \frac{3}{100} = 30\)초. (일치)
  • 철교 통과: 이동 거리 \(1300+200=1500\)m. 시간 \(\frac{1500}{100/3} = 1500 \times \frac{3}{100} = 45\)초. (일치)

답: 기차의 길이는 200 m, 속력은 \(\frac{100}{3}\) m/s (또는 약 33.33 m/s)이다.

✅ 예제 2: 기차의 길이 또는 속력 중 하나만 구하기

문제: 길이가 120m인 기차가 초속 25m의 일정한 속력으로 달리고 있다. 이 기차가 길이가 630m인 터널을 완전히 통과하는 데 몇 초가 걸리는가?

풀이 과정:

• 주어진 값:
  • 기차의 길이: 120m
  • 터널의 길이: 630m
  • 기차의 속력: 25 m/s
• 미지수 설정: 터널을 완전히 통과하는 데 걸리는 시간을 \(t\) 초라고 합니다.
• 기차가 이동한 총 거리 계산:

  $$ (\text{이동한 총 거리}) = (\text{터널의 길이}) + (\text{기차의 길이}) = 630 + 120 = 750 \text{ m} $$

• 방정식 세우기 (\(\text{시간} = \frac{\text{거리}}{\text{속력}}\)):

  $$ t = \frac{750}{25} $$

• 방정식 풀기 (계산):

  $$ t = 30 $$

• 답 구하기 및 확인:터널을 완전히 통과하는 데 걸리는 시간 \(t\)는 30초입니다.확인: 이동 거리 \(25 \text{ m/s} \times 30 \text{ s} = 750 \text{ m}\). (터널 길이 + 기차 길이와 일치)

답: 30초가 걸린다.