🔑 핵심 원칙
- 사람의 수를 \(x\)명으로 놓는다. (가장 일반적인 미지수 설정 방법)
- 각각의 나누어 주는 방법에 따라 전체 물건의 개수를 \(x\)에 대한 식으로 표현한다.
- 남는 경우: (한 사람당 주는 개수 \(\times\) 사람 수) + (남는 개수)
- 모자란 경우: (한 사람당 주는 개수 \(\times\) 사람 수) – (모자란 개수)
- 두 가지 방법으로 표현된 물건의 개수가 서로 같음을 이용하여 방정식을 세운다.
$$ (\text{방법 1로 계산한 총 물건 수}) = (\text{방법 2로 계산한 총 물건 수}) $$
- 방정식을 풀어 사람 수 \(x\)를 구하고, 이를 바탕으로 전체 물건의 개수도 구할 수 있다.
💡 물건의 개수를 표현하는 방법
사람의 수를 \(x\)명이라고 할 때, 문제에 제시된 두 가지 상황에 따라 전체 물건의 개수를 식으로 나타내는 방법은 다음과 같습니다.
상황별 전체 물건의 개수 표현상황 1: 한 사람당 \(a\)개씩 나누어 주면 \(b\)개가 남는 경우
$$ (\text{전체 물건의 개수}) = ax + b $$
상황 2: 한 사람당 \(c\)개씩 나누어 주면 \(d\)개가 모자라는 경우
$$ (\text{전체 물건의 개수}) = cx – d $$
이 두 가지 방법으로 표현된 “전체 물건의 개수”는 동일하므로, \(ax + b = cx – d\) 와 같이 등식을 세워 방정식을 풀게 됩니다.
만약 두 경우 모두 물건이 남거나, 두 경우 모두 모자란다면 부호에 주의하여 식을 세웁니다.
- \(a\)개씩 주면 \(b\)개 남고, \(c\)개씩 주면 \(d\)개 남는 경우: \(ax + b = cx + d\)
- \(a\)개씩 주면 \(b\)개 모자라고, \(c\)개씩 주면 \(d\)개 모자라는 경우: \(ax – b = cx – d\)
💡 문제 풀이 단계 (과부족 문제)
- 문제 분석 및 정보 정리:
- 두 가지 다른 방법으로 물건을 나누어 주는 상황을 파악합니다.
- 각 방법에서 한 사람당 주는 물건의 개수와 남거나 모자라는 물건의 개수를 정확히 확인합니다.
- 미지수 설정:
- 일반적으로 사람의 수를 미지수 \(x\)명으로 설정합니다. (문제에서 물건의 수를 물어도 사람 수를 먼저 구하는 것이 편리합니다.)
- 각 상황에서 전체 물건의 개수 표현:
- 첫 번째 나누어 주는 방법에 따라 전체 물건의 개수를 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 두 번째 나누어 주는 방법에 따라 전체 물건의 개수를 \(x\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 방정식 세우기:
- 두 가지 방법으로 표현된 전체 물건의 개수는 서로 같다는 원리를 이용하여 등식을 세웁니다.
- 방정식 풀기: 세운 방정식을 풀어 미지수 \(x\)(사람 수)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 \(x\) 값이 사람 수로서 타당한지 (예: 자연수인지) 확인합니다.
- 문제에서 사람 수를 물었다면 \(x\)가 답이 되고, 전체 물건의 개수를 물었다면 \(x\) 값을 2단계에서 세운 식 중 하나에 대입하여 물건의 개수를 구합니다. (양쪽 식 모두에 대입하여 값이 같은지 확인하면 검산이 됩니다.)
✅ 예제 1: 학생들에게 사탕 나누어 주기
문제: 선생님이 학생들에게 사탕을 나누어 주는데, 한 학생에게 4개씩 나누어 주면 10개가 남고, 5개씩 나누어 주면 2개가 모자란다고 한다. 학생 수는 몇 명인가?
풀이 과정:
- 미지수 설정: 학생 수를 \(x\)명이라고 합니다.
- 전체 사탕의 개수 표현:
- 상황 1 (4개씩 주면 10개 남음): 전체 사탕 수 = \(4x + 10\) 개
- 상황 2 (5개씩 주면 2개 모자람): 전체 사탕 수 = \(5x – 2\) 개
- 방정식 세우기: (상황 1의 사탕 수) = (상황 2의 사탕 수)
$$ 4x + 10 = 5x – 2 $$
- 방정식 풀기:
$$ 10 + 2 = 5x – 4x $$
$$ 12 = x $$
- 답 구하기 및 확인:학생 수 \(x\)는 12명입니다.확인 (전체 사탕 수 계산):
- 상황 1: \(4 \times 12 + 10 = 48 + 10 = 58\)개
- 상황 2: \(5 \times 12 – 2 = 60 – 2 = 58\)개
- 두 경우 모두 사탕 수가 58개로 일치합니다.
답: 학생 수는 12명이다.
✅ 예제 2: 긴 의자에 학생들 앉히기 (의자 수 구하기)
문제: 강당의 긴 의자에 학생들이 앉는데, 한 의자에 5명씩 앉으면 학생 3명이 서 있게 되고, 한 의자에 6명씩 앉으면 마지막 의자에는 2명이 앉고 빈 의자는 없다고 한다. 의자의 개수를 구하시오.
이 문제는 “사람의 수” 대신 “의자의 개수”를 \(x\)로 놓고, “전체 학생 수”가 같다는 원리를 이용합니다.
풀이 과정:
- 미지수 설정: 의자의 개수를 \(x\)개라고 합니다.
- 전체 학생 수 표현:
- 상황 1 (한 의자에 5명씩 앉으면 3명 남음): 전체 학생 수 = \(5x + 3\) 명
- 상황 2 (한 의자에 6명씩 앉으면 마지막 의자 2명, 빈 의자 없음):\((x-1)\)개의 의자에는 6명씩 꽉 채워 앉고, 마지막 한 의자에는 2명이 앉으므로,전체 학생 수 = \(6(x-1) + 2\) 명
- 방정식 세우기: (상황 1의 학생 수) = (상황 2의 학생 수)
$$ 5x + 3 = 6(x-1) + 2 $$
- 방정식 풀기:
$$ 5x + 3 = 6x – 6 + 2 $$
$$ 5x + 3 = 6x – 4 $$
$$ 3 + 4 = 6x – 5x $$
$$ 7 = x $$
- 답 구하기 및 확인:의자의 개수 \(x\)는 7개입니다.확인 (전체 학생 수 계산):
- 상황 1: \(5 \times 7 + 3 = 35 + 3 = 38\)명
- 상황 2: \(6 \times (7-1) + 2 = 6 \times 6 + 2 = 36 + 2 = 38\)명
- 두 경우 모두 학생 수가 38명으로 일치합니다.
답: 의자의 개수는 7개이다.
💡 마무리 정리:
- 과부족 문제의 핵심은 변하지 않는 전체 양(물건의 개수, 사람의 수 등)을 두 가지 다른 방법으로 표현하여 등식을 세우는 것입니다.
- 일반적으로 나누어 받는 대상의 수(사람 수, 의자 수 등)를 미지수 \(x\)로 놓는 것이 편리합니다.
- “남는다“는 것은 더하기(+)로, “모자란다“는 것은 빼기(-)로 처리하여 전체 양을 식으로 나타냅니다.
- “마지막 의자에는 몇 명이 앉고 빈 의자는 몇 개다”와 같은 조건은 완전히 채워진 의자의 수와 불완전하게 채워진 의자의 상황을 정확히 파악하여 식으로 표현해야 합니다.
- 방정식을 풀어 미지수 \(x\)를 구한 후, 문제에서 최종적으로 무엇을 묻는지 다시 한번 확인하고 답을 작성해야 합니다. (예: 사람 수인지, 물건의 총 개수인지)
의자 또는 텐트의 개수 – 과부족 문제 (2) – 중1 수학 – 일차방정식 활용