🔑 계수 처리에 대한 핵심 전략
- (1) 계수가 분수인 경우:양변에 분모의 최소공배수를 곱하여 모든 계수를 정수로 만듭니다. 곱하는 수가 양수이므로 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.
- (2) 계수가 소수인 경우:양변에 10의 거듭제곱 (10, 100, 1000 등)을 곱하여 모든 계수를 정수로 만듭니다. 곱하는 수가 양수이므로 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.
- (3) 계수가 무리수인 경우 (참고 – 중학 과정에서는 잘 다루지 않음):무리수 계수가 분모에 있다면 분모의 유리화를 이용하고, 그 외에는 무리수를 포함한 채로 계산하거나 근삿값을 이용해야 할 수 있습니다. 중학교 과정의 연립일차부등식에서는 주로 유리수 계수를 다룹니다.
계수를 정수로 변환한 후에는 일반적인 연립일차부등식 풀이 방법을 따릅니다.
💡 문제 풀이 단계 (계수가 유리수인 연립일차부등식)
- 각 일차부등식의 계수 정수화:연립부등식을 이루는 각 일차부등식에 대해, 계수가 분수이면 양변에 분모의 최소공배수를 곱하고, 계수가 소수이면 양변에 10의 거듭제곱을 곱하여 모든 계수를 정수로 만듭니다.
- 각각의 일차부등식 풀기:계수가 정수로 바뀐 각 일차부등식을 풀어 해를 구합니다. 이항 및 부등식의 성질을 이용하며, 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 바뀌는 것에 주의합니다.
- 수직선 위에 해 나타내기:2단계에서 구한 각 부등식의 해를 하나의 수직선 위에 정확하게 나타냅니다.
- 공통범위 찾기 및 해 표현하기:수직선 위에서 모든 부등식의 해가 동시에 만족되는 겹치는 부분(공통범위)을 찾고, 이를 부등식으로 표현합니다. 해가 없는 경우 “해가 없다”라고 답합니다.
✅ 예제 1: 계수가 분수인 연립일차부등식
문제: 연립부등식 \( \begin{cases} \frac{x-1}{2} + \frac{x}{3} > 1 \\ \frac{2x+1}{5} \le x – 1 \end{cases} \) 을 풀어라.
풀이 과정:
1. 첫 번째 부등식 풀기: \(\frac{x-1}{2} + \frac{x}{3} > 1\)
양변에 분모의 최소공배수인 6을 곱합니다:
$$ 6 \left(\frac{x-1}{2}\right) + 6 \left(\frac{x}{3}\right) > 6 \times 1 $$
$$ 3(x-1) + 2x > 6 $$
$$ 3x – 3 + 2x > 6 $$
$$ 5x > 9 \implies x > \frac{9}{5} $$
2. 두 번째 부등식 풀기: \(\frac{2x+1}{5} \le x – 1\)
양변에 5를 곱합니다:
$$ 5 \left(\frac{2x+1}{5}\right) \le 5 (x – 1) $$
$$ 2x+1 \le 5x – 5 $$
$$ 1 + 5 \le 5x – 2x $$
$$ 6 \le 3x \implies 2 \le x \quad \text{즉, } x \ge 2 $$
3. 수직선 위에 나타내고 공통범위 찾기:
\(x > \frac{9}{5}\) (즉, \(x > 1.8\)) 와 \(x \ge 2\)의 공통범위를 찾습니다.
공통범위는 \(x \ge 2\) 입니다.
답: \(x \ge 2\)
✅ 예제 2: 계수가 소수인 연립일차부등식
문제: 연립부등식 \( \begin{cases} 0.4x – 1.2 < 0.1x \\ 0.2(x-3) \ge -0.8 \end{cases} \) 를 풀어라.
풀이 과정:
1. 첫 번째 부등식 풀기: \(0.4x – 1.2 < 0.1x\)
양변에 10을 곱합니다:
$$ 4x – 12 < x $$
$$ 4x – x < 12 $$
$$ 3x < 12 \implies x < 4 $$
2. 두 번째 부등식 풀기: \(0.2(x-3) \ge -0.8\)
양변에 10을 곱합니다:
$$ 2(x-3) \ge -8 $$
$$ 2x – 6 \ge -8 $$
$$ 2x \ge -8 + 6 $$
$$ 2x \ge -2 \implies x \ge -1 $$
3. 수직선 위에 나타내고 공통범위 찾기:
\(x < 4\) 와 \(x \ge -1\)의 공통범위를 찾습니다.
공통범위는 \(-1 \le x < 4\) 입니다.
답: \(-1 \le x < 4\)
💡 마무리 정리:
- 연립일차부등식의 계수가 분수나 소수일 경우, 가장 먼저 계수를 정수로 만들어주는 작업을 하는 것이 계산 실수를 줄이고 풀이를 간편하게 하는 방법입니다.
- 분수 계수는 양변에 분모들의 최소공배수를 곱하고, 소수 계수는 양변에 10의 거듭제곱을 곱합니다. 이때 곱하는 수는 항상 양수이므로 부등호 방향은 변하지 않습니다.
- 계수를 정수로 만든 후에는 일반적인 연립일차부등식 풀이 방법과 동일하게 각 부등식의 해를 구하고, 수직선을 이용하여 공통부분을 찾습니다.
- 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향이 바뀌는 규칙은 계수 처리 후 부등식을 풀 때도 항상 주의해야 합니다.