📘 개념 이해: “계단 오르내리기 문제”란?
“계단 오르내리기 문제”는 가위바위보나 퀴즈 게임 등에서 이기거나 맞히면 계단을 올라가고(+), 지거나 틀리면 계단을 내려가는(-) 규칙에 따라 최종 위치 변화를 다루는 문제입니다.
이 유형은 넓게 보면 가점(+)과 감점(-)이 있는 점수 계산 문제와 동일한 원리로 해결할 수 있습니다.
핵심은 이긴 횟수(또는 맞힌 개수)와 진 횟수(또는 틀린 개수)를 미지수로 설정하고, 각 경우에 따른 위치 변화(계단 수 또는 점수)를 계산하여 총 변화량에 대한 방정식을 세우는 것입니다.
🔑 핵심 원칙
(1) A, B 두 사람이 가위바위보를 할 때 (비기는 경우는 없다고 가정):
- A가 이긴 횟수를 \(x\)회, 진 횟수를 \(y\)회라 하면,
- B가 이긴 횟수는 \(y\)회, B가 진 횟수는 \(x\)회이다. (A가 이긴 것은 B가 진 것이고, A가 진 것은 B가 이긴 것이므로)(이미지에서 빈칸 ①에 들어갈 것은 \(x\) 입니다.)
- 총 게임 횟수는 \(x+y\)회가 됩니다.
(2) 가점(+), 감점(-)에 대한 문제 (예: 계단 오르내리기, 점수 얻기/잃기):
- ① 올라가는 것(이기는 것, 맞히는 것)을 + (플러스)로 생각한다.
- ② 내려가는 것(지는 것, 틀리는 것)을 – (마이너스)로 생각한다.(이미지에서 빈칸 ②에 들어갈 것은 – (마이너스 기호) 입니다.)
- 최종 위치 변화 (또는 최종 점수) = (올라간 총 계단 수) – (내려간 총 계단 수)
- 올라간 총 계단 수 = (한 번 이길 때 올라가는 계단 수) \(\times\) (이긴 횟수)
- 내려간 총 계단 수 = (한 번 질 때 내려가는 계단 수) \(\times\) (진 횟수)
💡 문제 풀이 단계 (계단 오르내리기 문제)
- 문제 분석 및 정보 정리:
- 게임의 규칙(이기면 몇 칸, 지면 몇 칸)을 정확히 파악합니다.
- 각 사람의 최종 위치 변화(몇 칸 올라갔는지 또는 내려갔는지)를 확인합니다.
- 총 게임 횟수나 한 사람의 이긴 횟수 또는 진 횟수에 대한 정보가 있는지 확인합니다.
- 미지수 설정:
- 일반적으로 한 사람(예: A)이 이긴 횟수를 \(x\)회, 진 횟수를 \(y\)회로 설정합니다. (비기는 경우가 없다면, 총 게임 횟수는 \(x+y\)회)
- 만약 총 게임 횟수가 주어졌다면, 이긴 횟수를 \(x\)회로 놓으면 진 횟수는 (총 게임 횟수 – \(x\))회로 표현할 수 있어 미지수를 하나로 줄일 수 있습니다.
- 각 사람의 위치 변화를 식으로 표현:
- 각 사람에 대해 (올라간 총 계단 수) – (내려간 총 계단 수) = (최종 위치 변화) 형태로 식을 세웁니다.
- A가 이긴 횟수가 \(x\), 진 횟수가 \(y\)이고, B와 게임을 했다면 B는 \(y\)번 이기고 \(x\)번 진 것이 됩니다.
- 방정식 세우기:
- 각 사람의 최종 위치 변화에 대한 정보를 이용하여 연립방정식을 세웁니다. (일반적으로 미지수가 2개이므로 식이 2개 필요)
- 방정식 풀기: 세운 연립방정식을 풀어 미지수 \(x\)와 \(y\)의 값을 구합니다.
- 답 구하기 및 확인:
- 구한 \(x\)와 \(y\)가 횟수로서 타당한지 (예: 음이 아닌 정수인지) 확인합니다.
- 문제에서 최종적으로 요구하는 답을 구합니다. (예: A가 이긴 횟수, 총 게임 횟수 등)
- 구한 횟수들을 이용하여 각 사람의 실제 위치 변화를 계산해보고 문제의 조건과 일치하는지 검산합니다.
✅ 예제 1: 두 사람이 가위바위보 하여 계단 오르내리기
문제: 수지와 민준이가 가위바위보를 하여 이긴 사람은 4계단 올라가고 진 사람은 1계단 내려가기로 하였다.
게임을 여러 번 하여 수지는 처음 위치보다 25계단 올라갔고, 민준이는 처음 위치보다 5계단 올라갔다. 수지가 이긴 횟수는 몇 회인가? (단, 비기는 경우는 없다고 한다.)
풀이 과정:
- 미지수 설정:
- 수지가 이긴 횟수를 \(x\)회, 수지가 진 횟수를 \(y\)회라고 합니다.
- 그러면 민준이가 이긴 횟수는 \(y\)회, 민준이가 진 횟수는 \(x\)회가 됩니다.
- 각 사람의 위치 변화를 식으로 표현:
- 수지의 위치 변화: (수지가 올라간 계단) – (수지가 내려간 계단) = 최종 변화
$$ 4x – 1y = 25 \text{ — (식 ①)} $$
- 민준이의 위치 변화: (민준이가 올라간 계단) – (민준이가 내려간 계단) = 최종 변화
$$ 4y – 1x = 5 \text{ — (식 ②)} $$
- 수지의 위치 변화: (수지가 올라간 계단) – (수지가 내려간 계단) = 최종 변화
- 연립방정식 풀기:(식 ①): \(4x – y = 25 \implies y = 4x – 25\)이를 (식 ②) \(-x + 4y = 5\) 에 대입합니다:
$$ -x + 4(4x – 25) = 5 $$
$$ -x + 16x – 100 = 5 $$
$$ 15x = 105 $$
$$ x = \frac{105}{15} = 7 $$
\(x=7\)을 \(y = 4x – 25\)에 대입하면:
$$ y = 4(7) – 25 = 28 – 25 = 3 $$
- 답 구하기 및 확인:수지가 이긴 횟수 \(x\)는 7회, 진 횟수 \(y\)는 3회입니다.문제에서는 수지가 이긴 횟수를 물었습니다.확인:
- 수지: \(4 \times 7 – 1 \times 3 = 28 – 3 = 25\)계단 올라감 (일치)
- 민준: (이긴 횟수 3회, 진 횟수 7회) \(\implies 4 \times 3 – 1 \times 7 = 12 – 7 = 5\)계단 올라감 (일치)
답: 수지가 이긴 횟수는 7회이다.
✅ 예제 2: 퀴즈 점수 계산 (총 문제 수 고정)
문제: 총 20개의 문제가 출제된 퀴즈 대회에서 한 문제를 맞히면 5점을 얻고, 틀리면 2점을 감점한다. A학생이 퀴즈를 풀어 총 51점을 얻었다면, A학생이 맞힌 문제의 개수는 몇 개인가?
풀이 과정:
- 미지수 설정:
- A학생이 맞힌 문제의 개수를 \(x\)개라고 합니다.
- 총 문제가 20개이므로, 틀린 문제의 개수는 \((20 – x)\)개입니다.
- 총 점수를 식으로 표현:(맞힌 문제로 얻은 점수) – (틀린 문제로 감점된 점수) = 총 점수
$$ 5x – 2(20 – x) = 51 $$
- 방정식 풀기:
$$ 5x – 40 + 2x = 51 $$
$$ 7x = 51 + 40 $$
$$ 7x = 91 $$
$$ x = \frac{91}{7} = 13 $$
- 답 구하기 및 확인:A학생이 맞힌 문제의 개수 \(x\)는 13개입니다.틀린 문제의 개수는 \(20 – 13 = 7\)개입니다.확인 (총 점수):
- 맞힌 문제 점수: \(5 \times 13 = 65\)점
- 틀린 문제 감점: \(2 \times 7 = 14\)점
- 최종 점수: \(65 – 14 = 51\)점. (문제 조건과 일치)
답: A학생이 맞힌 문제의 개수는 13개이다.
💡 마무리 정리:
- 가점/감점 문제(계단 오르내리기 포함)의 핵심은 이득을 보는 행동(+)과 손해를 보는 행동(-)을 명확히 구분하고, 각 행동의 횟수와 단위 변화량을 곱하여 총 변화량을 계산하는 것입니다.
- 두 사람이 게임을 하는 경우, 한 사람의 승리는 다른 사람의 패배와 연결되므로, 한 사람의 이긴 횟수와 진 횟수를 알면 다른 사람의 이긴 횟수와 진 횟수도 알 수 있습니다.
- 총 횟수가 고정된 경우 (예: 총 문제 수), 한 종류의 횟수(예: 맞힌 개수)를 \(x\)로 놓으면 다른 종류의 횟수(예: 틀린 개수)는 (총 횟수 – \(x\))로 표현하여 미지수를 하나로 줄일 수 있습니다.
- 방정식은 (총 가점) – (총 감점) = (최종 결과) 형태로 세우는 경우가 일반적입니다.